2005-全国卷II文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角

本题导读

本题考查直线与平面垂直、直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PD\perp$ 底面 $ABCD$，$AD=PD$，$E$、$F$ 分别为 $CD$、$PB$ 的中点．

(1)求证：$EF\perp$ 平面 $PAB$；

(2)设 $AB=\sqrt{2}BC$，求 $AC$ 与平面 $AEF$ 所成的角的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $BC=AD=PD=b$，则 $AB=\sqrt{2}b$，建系 $A(0,0,0)$，$B(\sqrt{2}b,0,0)$，$D(0,b,0)$，$C(\sqrt{2}b,b,0)$，$P(0,b,b)$。
2. 由中点得 $E,F$ 坐标，证 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AP}$ 点积为零。
3. 求平面 $AEF$ 法向量 $n$，用 $\sin \theta =\frac{|AC\cdot n|}{|AC||n|}$ 求线面角。

✅【答案】

Success

EF⟂平面PAB；所成角为\arcsin\dfrac{\sqrt3}6.

✍【详细解析】

Abstract

设 $BC=AD=PD=b$，则 $AB=\sqrt{2}b$．建立空间直角坐标系，取 $A(0,0,0)$，$B(\sqrt{2}b,0,0)$，$D(0,b,0)$，$C(\sqrt{2}b,b,0)$，$P(0,b,b)$． 由中点定义，$E\left(\frac{\sqrt{2}b}{2},b,0\right)$，$F\left(\frac{\sqrt{2}b}{2},\frac{b}{2},\frac{b}{2}\right)$． （1）$\overrightarrow{EF}=\left(0,-\frac{b}{2},\frac{b}{2}\right)$，而 $\overrightarrow{AB}=(\sqrt{2}b,0,0)$，$\overrightarrow{AP}=(0,b,b)$． 于是 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 且 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AP}=0$． 由于 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AP}$ 是平面 $PAB$ 内两条相交直线的方向向量，故 $EF\perp$ 平面 $PAB$． （2）由 $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{\sqrt{2}b}{2},b,0\right)$，$\overrightarrow{AF}=\left(\frac{\sqrt{2}b}{2},\frac{b}{2},\frac{b}{2}\right)$，可取平面 $AEF$ 的法向量 $n=(2,-\sqrt{2},-\sqrt{2})$． 又 $\overrightarrow{AC}=b(\sqrt{2},1,0)$，故 $|\overrightarrow{AC}\cdot n|=\sqrt{2}b$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3}b$，$|n|=2\sqrt{2}$． 设 $AC$ 与平面 $AEF$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot n|}{|\overrightarrow{AC}||n|}=\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{3}b\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，故 $\theta =\arcsin \frac{\sqrt{3}}{6}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥线面垂直与线面角

核心方法：建系 $A(0,0,0),B(\sqrt{2}b,0,0),D(0,b,0),C(\sqrt{2}b,b,0),P(0,b,b)$，$E,F$ 为中点；证 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ 得垂直；法向量 $n=(2,-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ 求线面角 $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{6}$

避坑指南：线面垂直用方向向量与面内两相交向量点积为零；线面角 $\sin \theta =\frac{|AC\cdot n|}{|AC||n|}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，别与二面角混用

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥线面垂直与线面角的建系标准题

结论推广：线面垂直 $\iff$ 方向向量垂直面内两相交向量；线面角用 $\sin \theta =\frac{|a\cdot n|}{|a||n|}$

方法推广：建系取好坐标，中点和法向量计算要准

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角