2004-全国卷II文-06 单-正四棱锥侧棱与底面角

本题导读

本题考查正四棱锥的结构特征，以及侧棱与底面所成角。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 $1$，则侧棱与底面所成的角为()

A. $75^{\circ }$　　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设顶点 $V$、底面中心 $O$、底面顶点 $A$，$VO\perp$ 底面。
2. 侧棱与底面所成角即 $\angle VAO$。
3. $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$VA=1$，$\cos \angle VAO=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设正四棱锥顶点为 $V$、底面中心为 $O$、底面顶点为 $A$.因 $VO\perp$ 底面，侧棱 $VA$ 与底面所成的角等于 $\angle VAO$.底面边长为 $1$，故 $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}$，而 $VA=1$.在直角三角形 $VAO$ 中，$\cos \angle VAO=\frac{AO}{VA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $\angle VAO=45^{\circ }$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱锥侧棱与底面角
2. 核心方法：底面中心 $O$ 到顶点 $A$ 距离 $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$VA=1$；$\cos \angle VAO=\frac{AO}{VA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，角为 $45^{\circ }$
3. 避坑指南：侧棱与底面所成角是侧棱与底面中心连线所在直线的夹角 $\angle VAO$（$VO\perp$ 底面）——先算半对角线 $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于线面角的定义，教材”空间中的角度关系”
2. 结论推广: 一般化：正 $n$ 棱锥侧棱与底面所成角由 $\cos \theta =\frac{R}{l}$ 定（$R$ 为底面外接圆半径）；找斜线在底面上的射影（顶点到底面中心的连线），角在直角三角形中算

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2007-大纲Ⅱ文-07 单-正三棱锥线面角
• 2010-大纲Ⅱ文-08 单-三棱锥线面角