2003-上海文-18 解-平行六面体体积

本题导读

本题考查平行六面体的体积。核心在于由线面角与垂直关系求出高。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 已知平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A_{1}A\perp$ 平面 $ABCD$，$AB=4$，$AD=2$.若 $B_{1}D\perp BC$，直线 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角等于 $30^{\circ }$，求平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $A_{1}A\perp$ 面 $ABCD$、$B_{1}D\perp BC$ 得 $AD\perp BC$（$AD$ 是 $B_{1}D$ 在底面的射影）。
2. 结合 $AB=4$、$AD=2$ 求 $BD$，再用线面角 $30^{\circ }$ 求高 $A_{1}A$。

✅【答案】

Success

体积为 $8\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABCD$，$BD$ 是 $B_{1}D$ 在底面上的射影，又 $B_{1}D\perp BC$，由三垂线定理得 $BD\perp BC$，即 $BD\perp AD$（$BC\parallel AD$）．在 $△ABD$ 中，$AD=2$，$AB=4$，$\angle ADB=90^{\circ }$，故 $BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$.直线 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $\angle B_{1}DB=30^{\circ }$，故 $B_{1}B=BD\cdot \tan 30^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=2$，即高 $A_{1}A=2$.底面 $ABCD$ 为平行四边形，$\cos \angle DAB=\frac{A{B}^2+A{D}^2-B{D}^2}{2\cdot AB\cdot AD}=\frac{16+4-12}{16}=\frac{1}{2}$，故 $\angle DAB=60^{\circ }$，底面积 $S=AB\cdot AD\cdot \sin 60^{\circ }=4\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$.所以体积 $V=S\cdot A_{1}A=4\sqrt{3}\times 2=8\sqrt{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平行六面体体积
2. 核心方法：$B_{1}D\perp BC$、$A_{1}A\perp$ 面得 $AD\perp BC$，$BD=2$、$AB=4$ 得 $AD=2\sqrt{3}$；线面角 $30^{\circ }$ 得 $A_{1}A=\frac{AD}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}=2$，体积 $8\sqrt{3}$
3. 避坑指南：线面角、垂直与棱柱体积的关系

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材棱柱体积
2. 结论推广: 一般地，棱柱体积=底面积×高，高由线面角与垂直确定；用线面角与垂直关系求高，再求体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-16 填-平行六面体充要条件类比
• 2006-江苏卷-09 单-正四棱锥组合体体积
• 2004-全国卷II文-06 单-正四棱锥侧棱与底面角