2002-上海卷文-04 填-正四棱锥侧面二面角

本题导读

本题考查正四棱锥的体积，以及侧面与底面所成二面角。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 若正四棱锥的底面边长为 $2\sqrt{3}\mathrm{cm}$，体积为 $4{\mathrm{cm}}^3$，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面积 $S=(2\sqrt{3}{)}^2=12$，由 $V=\frac{1}{3}Sh$ 得高 $h=1$。
2. 二面角正切 $\tan \theta =\frac{h}{a/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\theta =30^{\circ }$。

✅【答案】

Success

$30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

底面边长为 $2\sqrt{3}$，底面积 $S=12$．由 $V=\frac{1}{3}Sh=4$ 得高 $h=1$．取底面中心到一边的距离（底面边半长）为 $\sqrt{3}$，则侧面与底面所成二面角 $\theta$ 满足 $\tan \theta =\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，故 $\theta =30^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥侧面二面角

核心方法：底面边长 $2\sqrt{3}$ 得底面积 $12$，体积 $4$ 得高 $h=1$；侧面与底面二面角 $\tan \theta =\frac{h}{a/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\theta =30^{\circ }$

避坑指南：正四棱锥体积 $V=\frac{1}{3}Sh$ 反求高，二面角用高与底面边半长求正切

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正四棱锥体积与二面角

结论推广：一般地，体积反求高，二面角用高与半边长求正切

方法推广：先求底面积与高，再求二面角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I文-14 填-正四棱锥侧面二面角
• 2004-全国卷II文-06 单-正四棱锥侧棱与底面角