2001-上海文-19 解-正方体垂直与二面角

本题导读

本题考查正方体中的垂直关系与二面角。核心在于建系用向量证垂直，再由体积最值求二面角。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 在棱长为 $a$ 的正方体 $OABC-O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 中，$E$、$F$ 分别是棱 $AB$、$BC$ 上的动点，且 $AE=BF$.

(1) 求证：$A^{\prime }F\perp C^{\prime }E$；

(2) 当三棱锥 $B^{\prime }-BEF$ 的体积取得最大值时，求二面角 $B^{\prime }-EF-B$ 的大小（结果用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系，设 $AE=BF=t$，用向量内积证垂直。
2. 用体积公式求 $V(t)$ 的最大值。
3. 在最大值处求二面角的平面角。

✅【答案】

Success

(1) 证明略（$A^{\prime }F\perp C^{\prime }E$）

(2) $\arctan (2\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 建立空间直角坐标系，取 $O(0,0,0)$，$A(a,0,0)$，$B(a,a,0)$，$C(0,a,0)$，竖直方向为 $z$ 轴，则 $A^{\prime }(a,0,a)$，$C^{\prime }(0,a,a)$．设 $AE=BF=t$（$0\le t\le a$），则 $E(a,t,0)$，$F(a-t,a,0)$．于是 $\overrightarrow{A^{\prime }F}=(-t,a,-a)$，$\overrightarrow{C^{\prime }E}=(a,t-a,-a)$，故 $\overrightarrow{A^{\prime }F}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }E}=-at+a(t-a)+a^2=-at+at-a^2+a^2=0$，所以 $A^{\prime }F\perp C^{\prime }E$． (2) 设 $BF=AE=x$，则 $BE=a-x$，且 $AB\perp BC$，故 $S_{△BEF}=\frac{1}{2}x(a-x)$．点 $B^{\prime }$ 到底面 $BEF$（即平面 $OABC$）的距离为 $a$，故三棱锥体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△BEF}\cdot a=\frac{a}{6}x(a-x)$．由 $x(a-x)\le \frac{a^2}{4}$（当且仅当 $x=\frac{a}{2}$ 取等），体积最大时 $E$、$F$ 分别为 $AB$、$BC$ 的中点，此时 $BE=BF=\frac{a}{2}$．在直角 $△BEF$ 中作 $BH\perp EF$ 于 $H$，则 $BH=\frac{BE\cdot BF}{EF}=\frac{(a/2{)}^2}{a/\sqrt{2}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}$．平面 $B^{\prime }BH\perp EF$，故二面角 $B^{\prime }-EF-B$ 的平面角为 $\angle B^{\prime }HB$．在直角 $△B^{\prime }BH$ 中，$B{B}^{\prime }=a$，故 $\tan \angle B^{\prime }HB=\frac{B{B}^{\prime }}{BH}=\frac{a}{a/(2\sqrt{2})}=2\sqrt{2}$，所以二面角的大小为 $\arctan (2\sqrt{2})$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体垂直与二面角

核心方法：建系设 $AE=BF=t$，$A^{\prime }F=(-t,a,-a)$、$C^{\prime }E=(a,t-a,-a)$，内积 $0$ 证垂直；体积 $V=\frac{a}{6}x(a-x)$ 在 $x=\frac{a}{2}$ 最大，二面角 $\tan =2\sqrt{2}$

避坑指南：建系向量证垂直 + 体积最值求二面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量与二面角

结论推广：一般地，$V=\frac{1}{3}Sh$，二面角用垂面找平面角

方法推广：建系证垂直 + 体积最值求二面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷文-04 填-正四棱锥侧面二面角
• 2004-北京春文-17 解-四棱锥垂直与二面角