2006-全国卷I文-14 填-正四棱锥侧面二面角

本题导读

本题考查正四棱锥的体积，以及二面角。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 已知正四棱锥的体积为 $12$，底面对角线长为 $2\sqrt{6}$，则侧面与底面所成的二面角等于　　　　

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面正方形对角线 $2\sqrt{6}$，边长 $a=2\sqrt{3}$，底面积 $S=12$。
2. 高 $h=\frac{3V}{S}=\frac{36}{12}=3$。
3. 侧面与底面所成二面角的平面角 $\theta$（底面中心到边的垂线与斜高夹角），$\tan \theta =\frac{h}{a/2}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

正四棱锥底面正方形对角线长为 $2\sqrt{6}$，故边长 $a=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}$，底面积 $S=a^2=12$． 设高为 $h$，由 $V=\frac{1}{3}Sh$，得 $h=\frac{3V}{S}=\frac{36}{12}=3$． 侧面与底面所成二面角的平面角 $\theta$ 满足（斜高在底面的射影为底面中心到边的距离 $\frac{a}{2}=\sqrt{3}$） $\tan \theta =\frac{h}{a/2}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥侧面二面角

核心方法：对角线 $2\sqrt{6}$ 得边长 $2\sqrt{3}$、底面积 $12$，高 $h=\frac{3V}{S}=3$，$\tan \theta =\frac{h}{a/2}=\sqrt{3}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$

避坑指南：对角线 $2\sqrt{6}$ 要先除以 $\sqrt{2}$ 得边长；二面角的正切是高比”中心到边的距离 $\frac{a}{2}$“，别用对角线的一半

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于正四棱锥的侧面与底面所成二面角，教材”多面体”与”二面角”

结论推广: 一般化：正棱锥侧面与底面所成二面角 $\theta$ 满足 $\tan \theta =\frac{h}{r_{内切}}$，$r_{内切}$ 为底面中心到边的距离

方法推广: 正四棱锥找侧面与底面的二面角，取底面中心到边的垂线与斜高构成的直角三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-19 解-四棱锥二面角
• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲Ⅰ文-16 填-翻折点面距离