2002-北京卷理-18 解-二面角的平面角及其求法

本题导读

本题考查多面体的结构特征。考查内容包括利用对称性确定二面角的平面角，利用线面平行的性质判定线线平行，以及通过代数作差法比较多面体体积的真实值与近似估算值的大小。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 如图，在多面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 $E,F$ 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 $c,d$ 与 $a,b$，且 $a>c,b>d$，两底面间的距离为 $h$.

(1) 求侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小；

(2) 证明：$EF\parallel \text{平面 }ABCD$；

(3) 在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式 $V_{\text{估}}=S_{\text{中截面}}\cdot h$ 来计算，已知它的体积公式是 $V=\frac{h}{6}(S_{\text{上底面}}+4S_{\text{中截面}}+S_{\text{下底面}})$，试判断 $V_{\text{估}}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明. 注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：利用多面体的对称性作辅助线。通过过上底面中心的截面构造出二面角的平面角，在直角梯形中利用边长代数式求解正切值。
2. 第(2)问：利用线面平行的性质定理。由于上下底面平行，侧棱交线 $EF$ 所在的平面与底面交于对应底面矩形的边，利用平行线的传递性论证。
3. 第(3)问：代数计算与比较。先根据矩形几何关系求出中截面的长和宽，写出 $S_{\text{上底面}}$、$S_{\text{下底面}}$、 $S_{\text{中截面}}$ 的代数式。将 $V_{\text{估}}$ 与 $V$ 作差，通过因式分解判定正负号。

✅【答案】

Success

(1) $\arctan \frac{2h}{b-d}$

(2) 证明见解析

(3) $V_{\text{估}}<V$，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

📐 (1) 求侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小

过延长线 $EF$ 且垂直于 $EF$ 作一截面，分别交 $A_1{B}_1,D_1{C}_1,AB,DC$ 的中点于 $M_1,N_1,M,N$。 延长 $A{A}_1,B{B}_1$ 交于 $E$，延长 $D{D}_1,C{C}_1$ 交于 $F$。由对称性， $EF\parallel AB\parallel CD$。 因此 $\angle M_{1}MN$ 即为侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的平面角，设为 $\theta$。

过 $M_1,N_1$ 分别作底面的垂线，交 $MN$ 于 $M^{\prime },N^{\prime }$。 在等腰梯形 $M_1{N}_{1}NM$ 中，高为 $h$，上底 $M_1{N}_1=d$，下底 $MN=b$。 根据对称性： $M{M}^{\prime }=\frac{MN-M_1{N}_1}{2}=\frac{b-d}{2}$ 在 $\text{Rt}△M_1{M}^{\prime }M$ 中： $\tan \theta =\frac{M_1{M}^{\prime }}{M{M}^{\prime }}=\frac{h}{\frac{b-d}{2}}=\frac{2h}{b-d}$ 故侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小为 $\arctan \frac{2h}{b-d}$。

📐 (2) 证明：$EF\parallel \text{平面 }ABCD$

因为侧棱 $A{A}_1$ 与 $B{B}_1$ 延长后相交于点 $E$，所以 $E\in \text{平面 }AB{B}_1{A}_1$。 同理，侧棱 $D{D}_1$ 与 $C{C}_1$ 延长后相交于点 $F$，所以 $F\in \text{平面 }DC{C}_1{D}_1$。 因此直线 $EF$ 是平面 $AB{B}_1{A}_1$ 与平面 $DC{C}_1{D}_1$ 的交线。

因为上底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1\parallel$ 下底面 $ABCD$， 平面 $AB{B}_1{A}_1$ 与这两个平行平面的交线分别为 $A_1{B}_1$ 和 $AB$，所以 $A_1{B}_1\parallel AB$。 平面 $DC{C}_1{D}_1$ 与这两个平行平面的交线分别为 $D_1{C}_1$ 和 $DC$，所以 $D_1{C}_1\parallel DC$。

又底面 $ABCD$ 为矩形，所以 $AB\parallel CD$。 由此可得 $A_1{B}_1\parallel D_1{C}_1$。 根据线面平行的性质定理，两条平行直线 $A_1{B}_1$ 与 $D_1{C}_1$ 确定的平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 平行于底面 $ABCD$。 由于交线 $EF\parallel A_1{B}_1\parallel AB$，且 $EF$ 不在底面 $ABCD$ 内， 所以 $EF\parallel \text{平面 }ABCD$。

📐 (3) 判断 $V_{\text{估}}$ 与 $V$ 的大小关系并证明

结论：$V_{\text{估}}>V$。

证明如下： 由题意，上底面矩形面积 $S_{\text{上底面}}=cd$，下底面矩形面积 $S_{\text{下底面}}=ab$。 因为中截面到两底面的距离相等，且侧面是梯形面， 所以中截面的长为 $\frac{a+c}{2}$，宽为 $\frac{b+d}{2}$。 中截面面积为： $S_{\text{中截面}}=\frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}=\frac{(a+c)(b+d)}{4}$

由已知公式： $V_{\text{估}}=S_{\text{中截面}}\cdot h$ $V=\frac{h}{6}(S_{\text{上底面}}+4S_{\text{中截面}}+S_{\text{下底面}})$

为了比较大小，对 $V_{\text{估}}$ 与 $V$ 进行作差： $V_{\text{估}}-V=S_{\text{中截面}}\cdot h-\frac{h}{6}(S_{\text{上底面}}+4S_{\text{中截面}}+S_{\text{下底面}})$ $V_{\text{估}}-V=\frac{h}{6}\left(6S_{\text{中截面}}-S_{\text{上底面}}-4S_{\text{中截面}}-S_{\text{下底面}}\right)$ $V_{\text{估}}-V=\frac{h}{6}\left(2S_{\text{中截面}}-S_{\text{上底面}}-S_{\text{下底面}}\right)$

将各面积代数式代入括号内： $2S_{\text{中截面}}-S_{\text{上底面}}-S_{\text{下底面}}=2\cdot \frac{(a+c)(b+d)}{4}-cd-ab$ $=\frac{ab+ad+bc+cd}{2}-cd-ab$ $=\frac{ad+bc-ab-cd}{2}$ $=\frac{b(c-a)-d(c-a)}{2}$ $=\frac{(b-d)(c-a)}{2}$

由于题目已知 $a>c⟹c-a<0$，且 $b>d⟹b-d>0$， 所以： $(b-d)(c-a)<0$ 从而得到： $2S_{\text{中截面}}-S_{\text{上底面}}-S_{\text{下底面}}<0$

因高度 $h>0$，故： $V_{\text{估}}-V=\frac{h}{6}\cdot \frac{(b-d)(c-a)}{2}<0$ 即 $V_{\text{估}}<V$。

最终结论： $V_{\text{估}}<V$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的性质（利用交线平行推导）；拟柱体体积公式（辛普森公式）的代数变形与作差比较。
2. 核心方法：截面法（第一问）；因式分解法（第三问）。
3. 避坑指南：

• 中截面面积公式混淆：中截面矩形的边长是上下底面对应边长的算术平均值，即 $S_{\text{中}}=\frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}$。切勿将其错记为上下底面积的平均值 $\frac{S_{\text{上}}+S_{\text{下}}}{2}$。
• 作差因式分解符号错误：在最后一问的代数化简中， $ad+bc-ab-cd$ 提取公因式时务必看清大小关系约束条件（$a>c,b>d$），确保正负号判定准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本几何体属于典型的拟柱体（Prismatoid）。体积公式 $V=\frac{h}{6}(S_1+4S_0+S_2)$ 为著名的**辛普森积分公式（Simpson’s Rule）**在三维几何体体积计算中的精确体现。
2. 结论推广：对于所有柱体、椎体、台体以及球体，辛普森公式均能给出完全精确的体积值。而近似公式 $V=S_{\text{中}}\cdot h$ 仅在柱体时完全相等，在向椎体或台体渐变的多面体中，估算值与真实值的大小关系严格取决于两个维度放大率的相对变动方向。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1958-湖南-07 解-正六棱锥的体积
• 2004-浙江文-19 解-空间线面垂直
• 2004-湖南文-18 解-线面垂直与二面角