2004-天津文-09 单-反函数求法

本题导读

本题考查反函数的求法，以及定义域限制下的符号。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 函数 $y=3^{x^2-1}$（$-1⩽x<0$）的反函数是()

A. $y=\sqrt{1+{\log }_{3}x}$（$x⩾\frac{1}{3}$）　　　　　　　　　　　　B. $y=-\sqrt{1+{\log }_{3}x}$（$x⩾\frac{1}{3}$）

C. $y=\sqrt{1+{\log }_{3}x}$（$\frac{1}{3}<x⩽1$）　　　　　　　　　　　　D. $y=-\sqrt{1+{\log }_{3}x}$（$\frac{1}{3}<x⩽1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $-1⩽x<0$，$x^2\in (0,1]$，$x^2-1\in (-1,0]$。
2. $y=3^{x^2-1}\in \left(\frac{1}{3},1\right]$，即反函数定义域。
3. 反解 ${\log }_{3}y=x^2-1$，$x=-\sqrt{1+{\log }_{3}y}$，反函数 $y=-\sqrt{1+{\log }_{3}x}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

原函数 $y=3^{x^2-1}$，因 $-1⩽x<0$，$x^2\in (0,1]$，$x^2-1\in (-1,0]$，故 $y=3^{x^2-1}\in \left(\frac{1}{3},1\right]$，即反函数的定义域为 $\frac{1}{3}<x⩽1$.由 $y=3^{x^2-1}$ 两边取以 $3$ 为底的对数，得 ${\log }_{3}y=x^2-1$，即 $x^2=1+{\log }_{3}y$.因原函数 $x<0$，开方取负根 $x=-\sqrt{1+{\log }_{3}y}$.互换 $x,y$ 得反函数 $y=-\sqrt{1+{\log }_{3}x}$，定义域 $\frac{1}{3}<x⩽1$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数求法
2. 核心方法：$y=3^{x^2-1}$（$-1⩽x<0$），$x^2\in (0,1]$，值域 $y\in \left(\frac{1}{3},1\right]$；取对数 ${\log }_{3}y=x^2-1$，$x=-\sqrt{1+{\log }_{3}y}$（因 $x<0$）；反函数 $y=-\sqrt{1+{\log }_{3}x}$，$\frac{1}{3}<x⩽1$
3. 避坑指南：指数式反解先取对数；$x<0$ 故开方取负根；反函数定义域 $=$ 原函数值域 $\left(\frac{1}{3},1\right]$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数，教材”反函数”
2. 结论推广: 一般化：由 $y=a^{g(x)}$ 取对数解出 $x$（注意定义域限制的符号），互换得反函数；$x<0$ 故开方取负根；反函数定义域即原函数值域

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-北京春文-13 填-反函数的值域
• 2005-全国卷II文-03 单-二次函数求反函数
• 2005-浙江卷文-11 填-反函数的求法