2004-全国卷II文-15 填-椭圆与双曲线共焦点

本题导读

本题考查椭圆与双曲线的焦点、离心率，以及共焦点条件下的方程求解。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 设中心在原点的椭圆与双曲线 $2x^2-2y^2=1$ 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 双曲线化为 $\frac{x^2}{1/2}-\frac{y^2}{1/2}=1$，$a_h^2=b_h^2=\frac{1}{2}$，$c_h=1$，$e_h=\sqrt{2}$。
2. 椭圆 $c_e=1$，$e_e=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{c_e}{a_e}$，得 $a_e=\sqrt{2}$。
3. $b_e^2=a_e^2-c_e^2=1$，写方程。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线化为 $\frac{x^2}{1/2}-\frac{y^2}{1/2}=1$，故 $a_h^2=b_h^2=\frac{1}{2}$，$c_h^2=a_h^2+b_h^2=1$，$c_h=1$，离心率 $e_h=\frac{c_h}{a_h}=\sqrt{2}$.设椭圆半长轴 $a_e$、半短轴 $b_e$、焦半距 $c_e$.由公共焦点知 $c_e=1$；由离心率互为倒数知 $e_e=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{c_e}{a_e}$，得 $a_e=\sqrt{2}$.于是 $b_e^2=a_e^2-c_e^2=2-1=1$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆与双曲线共焦点
2. 核心方法：双曲线 $a_h^2=b_h^2=\frac{1}{2}$，$c_h=1$，$e_h=\sqrt{2}$；椭圆 $c_e=1$，$e_e=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow a_e=\sqrt{2}$，$b_e^2=1$：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$
3. 避坑指南：公共焦点 $\Rightarrow c_e=c_h=1$；离心率互为倒数 $\Rightarrow e_e=\frac{1}{\sqrt{2}}$——椭圆 $b^2=a^2-c^2=1$，焦点在 $x$ 轴

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于圆锥曲线的共同焦点，教材”椭圆与双曲线”
2. 结论推广: 一般化：共焦点 + 离心率关系可互推 $a,b,c$；先把双曲线化标准形式，再用 $c$ 公共、$e$ 关系列方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷文-06 单-双曲线离心率与抛物线焦点
• 2005-全国卷III文-10 单-椭圆离心率求值
• 2008-大纲Ⅱ文-11 单-双曲线焦点三角形离心率