2005-全国卷III文-10 单-椭圆离心率求值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 设椭圆的两个焦点分别为 $F_1$、$F_2$，过 $F_2$ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 $P$，若 $△F_{1}P{F}_2$ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$　　　　　　C. $2-\sqrt{2}$　　　　　　D. $\sqrt{2}-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设椭圆长半轴 $a$、短半轴 $b$、半焦距 $c$，$a^2=b^2+c^2$。
2. 过 $F_2(c,0)$ 作长轴垂线 $x=c$ 交椭圆于 $P$，$P{F}_2=\frac{b^2}{a}$。
3. $△F_{1}P{F}_2$ 在 $F_2$ 处为直角且等腰，故 $P{F}_2=F_1{F}_2=2c$，即 $\frac{b^2}{a}=2c$，得 $1-e^2=2e$，$e=\sqrt{2}-1$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为 $a,b,c$，则 $a^2=b^2+c^2$．取长轴为 $x$ 轴，设 $F_2=(c,0)$，过 $F_2$ 的长轴垂线为 $x=c$，其与椭圆交点为 $P$，则 $P{F}_2^2=b^2\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)=\frac{b^4}{a^2}$，故 $P{F}_2=\frac{b^2}{a}$． $△F_{1}P{F}_2$ 在 $F_2$ 处为直角且为等腰三角形，故 $P{F}_2=F_1{F}_2=2c$，即 $\frac{b^2}{a}=2c$． 令离心率 $e=\frac{c}{a}$，代入 $b^2=a^2-c^2$ 得 $1-e^2=2e$，因 $0<e<1$，解得 $e=\sqrt{2}-1$． 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆离心率求值

核心方法：$P{F}_2=\frac{b^2}{a}$（通径半），等腰直角 $P{F}_2=F_1{F}_2=2c$，故 $\frac{b^2}{a}=2c$，得 $1-e^2=2e$，$e=\sqrt{2}-1$

避坑指南：过焦点垂直于长轴的弦（通径）一半长 $\frac{b^2}{a}$；等腰直角 $\Rightarrow \frac{b^2}{a}=2c$；解 $e^2+2e-1=0$ 取 $e=\sqrt{2}-1$，别取负根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆离心率求值是常考选择

结论推广：通径半长 $\frac{b^2}{a}$，等腰直角 $\Rightarrow \frac{b^2}{a}=2c$

方法推广：用 $b^2=a^2-c^2$ 消元解离心率

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-15 填-椭圆定义离心率
• 2009-大纲Ⅰ文-05 单-双曲线渐近线离心率