2005-湖北卷文-06 单-双曲线离心率与抛物线焦点

本题导读

本题考查双曲线的离心率与抛物线焦点的综合，以及基本量的求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{n}=1$（$mn\ne 0$）离心率为 2，有一个焦点与抛物线 $y^2=4x$ 的焦点重合，则 $mn$ 的值为()

A. $\frac{3}{16}$　　　　　　B. $\frac{3}{8}$　　　　　　C. $\frac{16}{3}$　　　　　　D. $\frac{8}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抛物线焦点 $(1,0)$，双曲线焦点在 $x$ 轴，$c=1$。
2. $e=\frac{c}{a}=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$，$m=a^2=\frac{1}{4}$。
3. $n=b^2=c^2-a^2=\frac{3}{4}$，$mn=\frac{3}{16}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $(1,0)$．由于双曲线有焦点与之重合，双曲线的焦点在 $x$ 轴上，故 $m=a^2>0$，$n=b^2>0$，且 $c=1$．由离心率得 $\frac{c}{a}=2$，即 $a=\frac{1}{2}$，$m=a^2=\frac{1}{4}$．又 $c^2=a^2+b^2$，所以 $n=b^2=c^2-a^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．因此 $mn=\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{16}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率与抛物线焦点

核心方法：焦点 $(1,0)$ 给 $c=1$，$e=2$ 给 $a=\frac{1}{2}$

避坑指南：$mn\ne 0$ 但须 $m>0$、$n>0$（焦点在 $x$ 轴）；$n=b^2=c^2-a^2=\frac{3}{4}$，$mn=\frac{3}{16}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 圆锥曲线

结论推广：抛物线 $y^2=4x$ 焦点 $(1,0)$；$e=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$，$mn=a^2{b}^2=\frac{3}{16}$

方法推广：两曲线焦点重合先定 $c$，再由离心率定 $a$，$b^2=c^2-a^2$ 收尾

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-06 单-双曲线的几何性质
• 2005-全国卷II理-06 单-双曲线的标准方程与几何性质
• 2020-新课标I文-11 单-三角形面积