2004-全国卷II文-14 填-线性规划最大值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数在可行域上的最大值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾0\\ x⩾y\\ 2x-y⩽1\end{array}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y⩽x$ 且 $y⩾2x-1$，需 $2x-1⩽x$，得 $0⩽x⩽1$。
2. $z=3x+2y$ 随 $y$ 增大而增大，取 $y=x$。
3. $z=5x⩽5$，当 $(x,y)=(1,1)$ 取等。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件得 $y⩽x$ 且 $y⩾2x-1$.要使 $y$ 存在，须 $2x-1⩽x$，即 $x⩽1$，结合 $x⩾0$ 得 $0⩽x⩽1$.对固定的 $x$，$z=3x+2y$ 随 $y$ 增大而增大，故取 $y=x$ 时最大，$z=5x⩽5$.当 $(x,y)=(1,1)$ 取等号，最大值为 $5$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划最大值
2. 核心方法：可行域顶点 $(0,0),(1,1),(0,-1)$ 等；$z=3x+2y$ 在 $(1,1)$ 取最大 $5$
3. 避坑指南：约束 $x⩾y$ 与 $2x-y⩽1$ 联立出 $0⩽x⩽1$；目标随 $y$ 增而增，取上边界 $y=x$——画对可行域再算顶点

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于线性规划，教材”简单的线性规划问题”
2. 结论推广: 一般化：目标函数在可行域顶点处取最值（线性）；画准可行域，平移等值线找最远顶点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2006-安徽文-10 单-线性规划最大值
• 2006-全国卷I文-15 填-线性规划目标最值
• 2005-上海卷文-03 填-线性规划最值