2004-全国卷IV文-16 填-线性规划最大值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数的最大值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽1\\ y⩽x\\ y⩾0\end{array}$，则 $z=2x+y$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 可行域由 $y=0$、$y=x$、$x+y=1$ 围成。
2. 顶点 $(0,0),(1,0),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。
3. 逐点代入 $z=2x+y$ 比较。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y⩾0$ 且 $y⩽x$ 得 $x⩾0$.可行域由 $y=0$、$y=x$、$x+y=1$ 围成，三个顶点为 $(0,0),(1,0),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.分别代入 $z=2x+y$ 得 $0,2,\frac{3}{2}$，故最大值为 $2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划最大值
2. 核心方法：可行域顶点 $(0,0),(1,0),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，$z=2x+y$ 分别 $0,2,\frac{3}{2}$，最大 $2$
3. 避坑指南：可行域由 $y=0,y=x,x+y=1$ 围成；三个顶点代入目标函数取最大

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于线性规划，教材”简单的线性规划”
2. 结论推广: 一般化：可行域顶点处取线性目标最值；画可行域求顶点，逐点代入目标函数比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.02 阿波罗尼斯圆
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-14 填-线性规划最大值
• 2006-安徽文-10 单-线性规划最大值
• 2008-天津文-02 单-线性规划最大值