2006-全国卷I文-15 填-线性规划目标最值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 设 $z=2y-x$，式中变量 $x,y$ 满足下列条件：$\{\begin{array}{l}2x-y\ge -1,\\ 3x+2y\le 23,\\ y\ge 1,\end{array}$ 则 $z$ 的最大值为　　　　

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画可行域（三条边界围成的多边形）。
2. 求各顶点坐标。
3. $z=2y-x$ 是线性函数，在顶点取最值，逐点代入比较。

✅【答案】

Success

$11$

✍【详细解析】

Abstract

可行域由 $2x-y\ge -1$、$3x+2y\le 23$、$y\ge 1$ 围成． 先求边界交点：$y=1$ 与 $2x-y=-1$ 交于 $(0,1)$；$y=1$ 与 $3x+2y=23$ 交于 $(7,1)$； $2x-y=-1$ 与 $3x+2y=23$ 联立解得 $(3,7)$． 逐点代入 $z=2y-x$：$z(0,1)=2$，$z(7,1)=-5$，$z(3,7)=11$． 故 $z$ 的最大值为 $11$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划目标最值

核心方法：画可行域求顶点 $(0,1),(7,1),(3,7)$，$z=2y-x$ 逐点代入，最大 $11$

避坑指南：顶点坐标要联立边界方程精确求，$(3,7)$ 是 $2x-y=-1$ 与 $3x+2y=23$ 的交点；$z=2y-x$ 别漏负号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于线性规划，教材”简单的线性规划问题”

结论推广: 一般化：线性目标函数在可行域顶点处取得最值，逐点代入比较

方法推广: 先画可行域、求顶点，再代入目标函数比较；顶点由边界直线联立精确求得

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-13 填-线性规划最值
• 2009-新课标Ⅰ文-06 单-线性规划开区域
• 2008-新课标Ⅰ文-10 单-线性规划距离范围