2004-全国卷II文-13 填-二项式系数求参

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及由特定项系数反求参数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 已知 $a$ 为实数，$(x+a{)}^{10}$ 展开式中 $x^7$ 的系数是 $-15$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x^7$ 项由 $7$ 个 $x$ 与 $3$ 个 $a$ 相乘得到。
2. 系数 ${\mathrm{C}}_{10}^3{a}^3=120a^3=-15$。
3. 解 $a^3=-\frac{1}{8}$，$a=-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$x^7$ 项由 $7$ 个 $x$ 和 $3$ 个 $a$ 相乘得到，系数为 ${\mathrm{C}}_{10}^3{a}^3=120a^3$.由 $120a^3=-15$ 得 $a^3=-\frac{1}{8}$，又 $a$ 为实数，故 $a=-\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式系数求参
2. 核心方法：$x^7$ 项系数 ${\mathrm{C}}_{10}^3{a}^3=120a^3=-15\Rightarrow a^3=-\frac{1}{8}\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：$x^7$ 对应 $k=3$ 个 $a$：系数是 ${\mathrm{C}}_{10}^3{a}^3$（$a$ 的三次方别当成一次）；负实数立方根唯一

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理，教材”二项式定理”指定项
2. 结论推广: 一般化：$(x+a{)}^n$ 中 $x^k$ 项系数 ${\mathrm{C}}_n^{n-k}{a}^{n-k}$；指定项次数与选取个数的关系：$x$ 取 $k$ 个则 $a$ 取 $n-k$ 个

🔗【关联脉络】

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• 2006-湖南文-03 单-二项式系数定参
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