2005-山东卷文-06 单-二项式指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理中各项系数和与指定项系数的求法，以及通项公式的指数配平。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 如果 ${\left(3x-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right)}^n$ 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 $\frac{1}{x^3}$ 的系数是()

A. $7$　　　　　　　B. $-7$　　　　　　　C. $21$　　　　　　　D. $-21$

🔍【思路分析】

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1. 令 $x=1$：$(3-1{)}^n=2^n=128$，得 $n=7$。
2. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k{3}^{7-k}(-1{)}^k{x}^{7-k-\frac{2k}{3}}$。
3. 令指数 $=-3$ 解 $k=6$，算系数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令展开式中的 $x=1$，各项系数之和为 $(3-1{)}^n=2^n$．由 $2^n=128=2^7$ 得 $n=7$．展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k(3x{)}^{7-k}{\left(-x^{-\frac{2}{3}}\right)}^k={\mathrm{C}}_7^k\cdot 3^{7-k}\cdot (-1{)}^k\cdot x^{7-k-\frac{2k}{3}}$．要含 $x^{-3}$，应满足 $7-k-\frac{2k}{3}=-3$，即 $21-3k-2k=-9$，解得 $k=6$．所求系数为 ${\mathrm{C}}_7^6\cdot 3^{7-6}\cdot (-1{)}^6=7\times 3=21$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式指定项系数

核心方法：赋值 $x=1$ 得 $2^n=128$ 定 $n=7$

避坑指南：“各项系数之和”是令 $x=1$，与二项式系数和 $2^n$ 区分；三次根号 $x^{-\frac{2}{3}}$ 的指数运算别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 二项式定理

结论推广：令 $x=1$ 得 $(3-1{)}^n=2^n=128$，通项 $x$ 指数 $7-k-\frac{2k}{3}=-3$ 解 $k=6$

方法推广：“系数和”赋值法与”指定项”指数配平联用：先定 $n$ 再配指数，两步各自独立

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I理-06 单-二项式定理
• 1995-全国卷理-06 单-二项式展开式的指定项系数
• 1978-全国卷-06 解-三角恒等变换