2006-湖南文-03 单-二项式系数定参

本题导读

本题考查二项式定理，以及指定项系数。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 若 $(ax-1{)}^5$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是 $80$，则实数 $a$ 的值是()

A. $-2$　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　C. $\sqrt[3]{4}$　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}=C_5^k(ax{)}^{5-k}(-1{)}^k=C_5^k{a}^{5-k}(-1{)}^k{x}^{5-k}$。
2. $x^3$ 项：$5-k=3$，即 $k=2$。
3. 系数 $C_5^2{a}^3(-1{)}^2=10a^3=80$，得 $a^3=8$，$a=2$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

通项为 $T_{k+1}=C_5^k(ax{)}^{5-k}(-1{)}^k=C_5^k{a}^{5-k}(-1{)}^k{x}^{5-k}$． 含 $x^3$ 的项满足 $5-k=3$，即 $k=2$，其系数为 $C_5^2{a}^3(-1{)}^2=10a^3.$ 由题意 $10a^3=80$，得 $a^3=8$，故 $a=2$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数定参

核心方法：通项 $T_{k+1}=C_5^k(ax{)}^{5-k}(-1{)}^k$，$x^3$ 项 $k=2$：$C_5^2{a}^3=80$ 得 $a=2$

避坑指南：$x$ 的指数 $5-k=3$ 定 $k=2$；系数 $10a^3=80$ 别漏 $(-1{)}^2=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项式系数定参，二项式定理

结论推广: $C_5^2{a}^3=80\Rightarrow a=2$

方法推广: 指定项系数：先定 $k$ 再列系数方程

🔗【关联脉络】

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