2004-上海卷文-09 填-二项式系数概率

本题导读

本题考查二项式定理的展开式系数，以及古典概型的概率计算。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 若在二项式 $(x+1{)}^{10}$ 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 $\underline{}$.（结果用分数表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开式共 $11$ 项，系数 ${\mathrm{C}}_{10}^k$（$k=0,\dots ,10$）。
2. 逐项：$1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1$，奇数的是 $1,45,45,1$ 四项。
3. 概率 $\frac{4}{11}$。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

二项式展开式共有 $11$ 项，任取一项时每一项被取到的概率相同。由二项式定理，$(x+1{)}^{10}=x^{10}+10x^9+45x^8+120x^7+210x^6+252x^5+210x^4+120x^3+45x^2+10x+1$，其中系数为奇数的项是系数为 $1,45,45,1$ 的四项，所以所求概率为 $\frac{4}{11}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式系数概率
2. 核心方法：$(x+1{)}^{10}$ 共 $11$ 项，系数 ${\mathrm{C}}_{10}^k$ 中奇数的是 $k=0,2,8,10$ 对应 $1,45,45,1$，概率 $\frac{4}{11}$
3. 避坑指南：逐项列 ${\mathrm{C}}_{10}^k$ 判奇偶；奇系数仅 $4$ 项，分母是项数 $11$ 而非 $10$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理与古典概型，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：$(x+1{)}^n$ 系数 ${\mathrm{C}}_n^k$ 的奇偶分布有规律（$n=2^m-1$ 时全奇）；逐项算系数判奇偶，概率 $=$ 奇系数项数 $/$ 总项数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-07 单-二项式系数奇偶
• 2005-湖南卷文-13 填-多项二项式系数和
• 2004-全国卷II文-13 填-二项式系数求参