2005-湖南卷文-13 填-多项二项式系数和

本题导读

本题考查多个二项式展开式中特定项系数的求和。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 在 $(1+x)+(1+x{)}^2+\cdots +(1+x{)}^6$ 的展开式中，$x^2$ 项的系数是$\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. $(1+x{)}^k$ 的 $x^2$ 系数为 ${\mathrm{C}}_k^2$。
2. 所求和为 ${\mathrm{C}}_2^2+{\mathrm{C}}_3^2+\cdots +{\mathrm{C}}_6^2$。
3. 用朱世杰恒等式 ${\sum }_{k=2}^6{\mathrm{C}}_k^2={\mathrm{C}}_7^3$。

✅【答案】

Success

$35$

✍【详细解析】

Abstract

$(1+x{)}^k$ 的展开式中 $x^2$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_k^2$，故所求系数为 ${\mathrm{C}}_2^2+{\mathrm{C}}_3^2+\cdots +{\mathrm{C}}_6^2$．由组合恒等式 ${\sum }_{k=2}^n{\mathrm{C}}_k^2={\mathrm{C}}_{n+1}^3$，得所求为 ${\mathrm{C}}_7^3=35$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多项二项式系数和

核心方法：各项 ${\mathrm{C}}_k^2$ 求和 ${\sum }_{k=2}^6{\mathrm{C}}_k^2={\mathrm{C}}_7^3=35$（朱世杰恒等式）

避坑指南：(1+x)^k 的 $x^2$ 系数是 ${\mathrm{C}}_k^2$；求和用组合恒等式 $\sum {\mathrm{C}}_k^2={\mathrm{C}}_7^3$——逐项展开硬算易漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 二项式定理

结论推广：${\sum }_{k=2}^6{\mathrm{C}}_k^2={\mathrm{C}}_7^3=35$（ hockey-stick 恒等式）

方法推广：多个二项式系数求和优先想朱世杰恒等式 ${\sum }_{k=r}^n{\mathrm{C}}_k^r={\mathrm{C}}_{n+1}^{r+1}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-13 填-二项式展开式通项
• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项