2006-安徽文-13 填-二项式系数定参

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 设常数 $a>0$，${\left(a{x}^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^4$ 展开式中 $x^3$ 的系数为 $\frac{3}{2}$，则 $a=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_4^r(a{x}^2{)}^{4-r}{\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r={\mathrm{C}}_4^r{a}^{4-r}{x}^{8-2r-\frac{r}{2}}$。
2. 指数 $8-\frac{5}{2}r=3\Rightarrow r=2$。
3. 系数 ${\mathrm{C}}_4^2{a}^2=6a^2=\frac{3}{2}\Rightarrow a^2=\frac{1}{4}$。
4. $a>0$，故 $a=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(a{x}^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^4$ 的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_4^r(a{x}^2{)}^{4-r}{\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r={\mathrm{C}}_4^r{a}^{4-r}{x}^{8-\frac{5}{2}r}$。 令 $8-\frac{5}{2}r=3$，得 $r=2$。 该项系数为 ${\mathrm{C}}_4^2{a}^2=6a^2=\frac{3}{2}$，故 $a^2=\frac{1}{4}$。 又 $a>0$，所以 $a=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数定参

核心方法：通项指数列方程

避坑指南：通项 ${\mathrm{C}}_4^r{a}^{4-r}{x}^{2(4-r)-\frac{r}{2}}$，指数 $8-\frac{5}{2}r=3$ 得 $r=2$，${\mathrm{C}}_4^2{a}^2=\frac{3}{2}$，$a=\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二项式定理通项公式，指定项系数定参

结论推广: 通项指数列方程推广到分式指数幂的展开

方法推广: $x$ 指数 $8-\frac{5}{2}r$ 含分数，解出整数 $r$ 再回代系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-07 单-二项式系数奇偶
• 2009-湖南卷文-11 填-二项式系数