2004-全国卷I文-21 解-四棱锥距离与二面角

本题导读

本题考查空间向量求距离与二面角。核心在于由双垂直于棱定位二面角的平面角后建系计算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 如图，已知四棱锥 $P-ABCD$，$PB\perp AD$，侧面 $PAD$ 为边长等于 2 的正三角形，底面 $ABCD$ 为菱形，侧面 $PAD$ 与底面 $ABCD$ 所成的二面角为 $120^{\circ }$.

(1) 求点 $P$ 到平面 $ABCD$ 的距离；

(2) 求面 $APB$ 与面 $CPB$ 所成二面角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $AD$ 中点 $O$：$PO\perp AD$、$PB\perp AD$，$\angle POB=120^{\circ }$ 即侧面与底面二面角的平面角。 2.（1）$P$ 到底面距离 $=PO\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$。 3.（2）以 $O$ 为原点、$OD$ 为 $x$ 轴、$OB$ 反向为 $y$ 轴、竖直向上为 $z$ 轴建系，两面法向量夹角余弦 $-\frac{2\sqrt{7}}{7}$，二面角取其补角。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\pi -\arccos \frac{2\sqrt{7}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

取 $AD$ 中点 $O$，连接 $PO$、$OB$.因 $PA=PD$，$PO\perp AD$；又 $PB\perp AD$，故 $\angle POB$ 是侧面 $PAD$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的平面角，$\angle POB=120^{\circ }$. （1）正三角形 $PAD$ 边长为 2，$PO=\sqrt{3}$.$P$ 到平面 $ABCD$ 的距离为 $PO\sin (180^{\circ }-120^{\circ })=\sqrt{3}\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$. （2）以 $O$ 为原点，$OD$、$OB$ 的反方向、竖直向上分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建系。菱形边长为 2，$A(-1,0,0)$，$D(1,0,0)$，$B(0,-\sqrt{3},0)$，$C(2,-\sqrt{3},0)$；$P$ 在过 $O$ 垂直于 $AD$ 的竖直面内且与 $+y$ 方向成 $60^{\circ }$，$P\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)$.$\overrightarrow{PA}=\left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$，$\overrightarrow{PB}=\left(0,-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$，$\overrightarrow{PC}=\left(2,-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$.面 $APB$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{PA}\times \overrightarrow{PB}=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$，面 $CPB$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{PC}\times \overrightarrow{PB}=(0,3,-3\sqrt{3})$.$\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{-\frac{9}{2}-\frac{27}{2}}{\frac{3\sqrt{7}}{2}\times 6}=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$.由图知面 $APB$ 与面 $CPB$ 所成二面角为钝角，其大小为 $\pi -\arccos \frac{2\sqrt{7}}{7}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四棱锥距离与二面角
2. 核心方法：$PB\perp AD$、$PO\perp AD$（$O$ 为 $AD$ 中点）$\Rightarrow \angle POB=120^{\circ }$；$P$ 到底面距离 $=PO\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$；面 $APB$ 与面 $CPB$ 法向量夹角余弦 $-\frac{2\sqrt{7}}{7}$，二面角 $\pi -\arccos \frac{2\sqrt{7}}{7}$
3. 避坑指南：$\angle POB$ 即侧面与底面二面角的平面角（均垂直于棱 $AD$）；距离 $=$ 斜线长 $\times$ 与平面所成角的正弦——二面角为钝角，大小取 $\pi -\arccos \frac{2\sqrt{7}}{7}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于立体几何的距离与二面角，教材”空间向量与立体几何”综合题
2. 结论推广: 一般化：侧面为正三角形、二面角为钝角的四棱锥，建系后距离与二面角皆可坐标化；先由”双垂直于棱”定位二面角的平面角，距离用法向量或斜线长乘正弦

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 2005-重庆卷文-20 解-四棱锥线线距离与二面角
• 2005-全国卷III文-19 解-四棱锥线面垂直与二面角
• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角