2001-新课标理-20甲 解-正四棱锥向量夹角

本题导读

本题考查空间向量的夹角。核心在于由中点写出坐标，用数量积求夹角余弦，再由垂直条件定高。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 如图，以正四棱锥 $V-ABCD$ 底面中心 $O$ 为坐标原点建立空间直角坐标系 $O-xyz$，其中 $Ox\parallel BC$，$Oy\parallel AB$.$E$ 为 $VC$ 中点，正四棱锥底面边长为 $2a$，高为 $h$.

(1) 求 $\cos ⟨\overrightarrow{BE},\overrightarrow{DE}⟩$；

🔍【思路分析】

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1. 写出 $B,C,D,V,E$ 的坐标，计算 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{DE}$ 与模。

✅【答案】

Success

$\cos ⟨\overrightarrow{BE},\overrightarrow{DE}⟩=\frac{h^2-6a^2}{h^2+10a^2}$；$\angle BED=\pi -\arccos \frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意知 $B(a,a,0)$，$C(-a,a,0)$，$D(-a,-a,0)$，$V(0,0,h)$，$E$ 为 $VC$ 中点，故 $E\left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{h}{2}\right)$．于是 $\overrightarrow{BE}=\left(-\frac{3a}{2},-\frac{a}{2},\frac{h}{2}\right)$，$\overrightarrow{DE}=\left(\frac{a}{2},\frac{3a}{2},\frac{h}{2}\right)$，$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{DE}=-\frac{3a^2}{2}+\frac{h^2}{4}$，且 $|\overrightarrow{BE}|=|\overrightarrow{DE}|=\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{10a^2+h^2}$．故 $\cos ⟨\overrightarrow{BE},\overrightarrow{DE}⟩=\frac{\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{DE}|}=\frac{h^2-6a^2}{h^2+10a^2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥向量夹角

核心方法：$B(a,a,0)$，$D(-a,-a,0)$，$V(0,0,h)$，$E\left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{h}{2}\right)$，$\cos ⟨\overrightarrow{BE},\overrightarrow{DE}⟩=\frac{h^2-6a^2}{h^2+10a^2}$；

避坑指南：中点坐标代入，垂直条件定参数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量与夹角

结论推广：一般地，夹角余弦等于数量积除以模的乘积

方法推广：坐标法求夹角与定参

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-20甲 解-正四棱锥向量夹角
• 2002-大纲文-19 解-四棱锥体积与二面角
• 2004-全国卷I文-21 解-四棱锥距离与二面角