2002-大纲文-19 解-四棱锥体积与二面角

本题导读

本题考查四棱锥的体积与二面角。核心在于建系用法向量求解。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是边长为 $a$ 的正方形，$PB\perp$ 平面 $ABCD$.

(1) 若面 $PAD$ 与面 $ABCD$ 所成的二面角为 $60^{\circ }$，求这个四棱锥的体积；

(2) 证明无论四棱锥的高怎样变化，面 $PAD$ 与面 $PCD$ 所成的二面角恒大于 $90^{\circ }$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $B(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),D(a,a,0),P(0,0,h)$。
2. 法向量求二面角定 $h$，再求体积与二面角。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^3$

(2) 恒大于 $90^{\circ }$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 建系取 $B(0,0,0)$，$A(a,0,0)$，$C(0,a,0)$，$D(a,a,0)$，$P(0,0,h)$．面 $PAD$ 法向量 ${\mathbf{n}}_1=(h,0,a)$，底面法向量 ${\mathbf{n}}_0=(0,0,1)$，二面角 $\alpha$ 满足 $\cos \alpha =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_0|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_0|}=\frac{a}{\sqrt{h^2+a^2}}=\cos 60^{\circ }$，得 $h=\sqrt{3}a$．故体积 $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^3$． (2) 面 $PAD$、面 $PCD$ 的外法向量分别取 ${\mathbf{n}}_1=(h,0,a)$、${\mathbf{n}}_2=(0,h,a)$，${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=a^2>0$，故两外法向量夹角 $\beta <90^{\circ }$，四棱锥内部所成二面角为 $180^{\circ }-\beta >90^{\circ }$，恒成立．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥体积与二面角

核心方法：建系 $B(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),D(a,a,0),P(0,0,h)$，二面角 $60^{\circ }$ 定 $h=\sqrt{3}a$，体积 $\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^3$；法向量证二面角恒 $>90^{\circ }$

避坑指南：法向量求二面角，体积用 $\frac{1}{3}{S}_{底}h$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量与体积

结论推广：一般地，四棱锥体积用 $\frac{1}{3}{S}_{底}h$，二面角用法向量

方法推广：建系法向量求角与体积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-21 解-四棱锥距离与二面角
• 2004-天津文-19 解-四棱锥线面平行与线面角
• 2004-福建文-19 解-空间向量与二面角