2005-全国卷III文-19 解-四棱锥线面垂直与二面角

本题导读

本题考查直线与平面垂直、二面角的求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 如图，在四棱锥 $V-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧面 $VAD$ 是正三角形，平面 $VAD\perp$ 底面 $ABCD$．

(1)证明：$AB\perp$ 平面 $VAD$；

(2)求面 $VAD$ 与面 $VDB$ 所成的二面角的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正方形边长 $s$，建系 $A(0,0,0),B(s,0,0),D(0,s,0),C(s,s,0)$。
2. 平面 $VAD$ 垂直底面且 $VAD$ 为正三角形，取 $V\left(0,\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2}\right)$，平面 $VAD$ 方程 $x=0$，故 $AB$（方向 $(s,0,0)$）垂直。
3. 求两平面法向量，用 $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}$ 求二面角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析；(2) $\arccos \frac{\sqrt{21}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设正方形边长为 $s$，建系 $A(0,0,0)$，$B(s,0,0)$，$D(0,s,0)$，$C(s,s,0)$． 平面 $VAD$ 垂直于底面，且 $VAD$ 是边长为 $s$ 的正三角形，可取 $V\left(0,\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2}\right)$． 平面 $VAD$ 的方程为 $x=0$，而 $AB$ 的方向向量为 $(s,0,0)$，故 $AB\perp$ 平面 $VAD$． （2）平面 $VAD$ 的法向量 $n_1=(1,0,0)$；平面 $VDB$ 内两相交直线方向向量取 $\overrightarrow{DB}=(s,-s,0)$，$\overrightarrow{DV}=\left(0,-\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2}\right)$，法向量取 $n_2=(\sqrt{3},\sqrt{3},1)$． 设两平面的锐二面角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，故二面角为 $\arccos \frac{\sqrt{21}}{7}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥线面垂直与二面角

核心方法：建系 $A(0,0,0),B(s,0,0),D(0,s,0),C(s,s,0),V\left(0,\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2}\right)$；$AB$ 方向 $(s,0,0)$ 垂直 $VAD$（方程 $x=0$）；法向量 $n_1=(1,0,0),n_2=(\sqrt{3},\sqrt{3},1)$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{21}}{7}$

避坑指南：线面垂直证方向向量与面内两相交向量点积为零；二面角用两法向量夹角 $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{\sqrt{21}}{7}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥线面垂直与二面角是建系标准题

结论推广：正三角形侧面垂直底面的建系取点

方法推广：法向量夹角求二面角 $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角