2004-辽宁卷-17 解-空间中平面垂直的判定定理

本题导读

本题考查空间中平面垂直的判定定理。核心在于空间直角坐标系法、几何综合推导法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 已知四棱锥 $P-ABCD$，底面 $ABCD$ 是菱形， $\angle DAB=60^{\circ }$， $PD\perp \text{平面 }ABCD$， $PD=AD$，点 $E$ 为 $AB$ 中点，点 $F$ 为 $PD$ 中点.

(1) 证明：平面 $PED\perp \text{平面 }PAB$；

(2) 求二面角 $P-AB-F$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（第(1)问几何证明）：
   • 已知 $PD\perp \text{平面 }ABCD$，且 $AB\subset \text{平面 }ABCD⟹PD\perp AB$。
   • 分析底面菱形 $ABCD$。因为 $AD=AB$ 且 $\angle DAB=60^{\circ }$， $△DAB$ 为等边三角形。 $E$ 为 $AB$ 中点 $⟹DE\perp AB$。
   • 结合 $PD\perp AB$ 且 $DE\perp AB$，可得 $AB\perp \text{平面 }PED$。由于 $AB\subset \text{平面 }PAB$，根据面面垂直判定定理即证。
2. 第二步逻辑（建立空间直角坐标系）：
   • 以 $D$ 为坐标原点，在底面内过 $D$ 作 $DE$ 的平行线为 $x$ 轴，以射线 $DE$ 方向为 $y$ 轴，以射线 $DP$ 方向为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。
   • 设菱形边长 $AD=2$，写出关键点 $D,A,B,P,F$ 的具体坐标。
3. 第三步逻辑（第(2)问向量计算）：
   • 二面角 $P-AB-F$ 的棱为 $AB$。分别计算平面 $PAB$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$ 和平面 $FAB$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$。
   • 利用公式 $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}$ 算出法向量夹角余弦值，并结合图形的钝角或锐角特征确定二面角的平面角余弦值。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{5\sqrt{7}}{14}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：平面 $PED\perp \text{平面 }PAB$ 因为 $PD\perp \text{平面 }ABCD$，且 $AB\subset \text{平面 }ABCD$， 根据线面垂直的性质定理： $PD\perp AB\text{（式1）}$

在底面菱形 $ABCD$ 中，由于 $AD=AB$ 且 $\angle DAB=60^{\circ }$， 可知 $△DAB$ 为正三角形。 又因为点 $E$ 为 $AB$ 的中点，根据正三角形“三线合一”性质： $DE\perp AB\text{（式2）}$

因为 $PD\cap DE=D$，且 $PD,DE\subset \text{平面 }PED$。 结合（式1）与（式2），直线 $AB$ 垂直于平面 $PED$ 内的两条相交直线，由线面垂直判定定理得： $AB\perp \text{平面 }PED\text{（式3）}$ 由于直线 $AB\subset \text{平面 }PAB$，根据平面与平面垂直的判定定理，最终导出： $\text{平面 }PED\perp \text{平面 }PAB$

(2) 求二面角 $P-AB-F$ 的平面角的余弦值 为建立空间直角坐标系，首先在底面内过点 $D$ 作直线 $DX\parallel AB$。 由于 $DE\perp AB$，有 $DX\perp DE$。 以 $D$ 为原点，射线 $DX,DE,DP$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

设菱形边长 $AD=2$，则依据题意有 $PD=AD=2$。 在正三角形 $△DAB$ 中，高 $DE=2\times \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$。 点 $E$ 在 $y$ 轴上，其坐标为 $(0,\sqrt{3},0)$。由整个几何体的拓扑排布可得各顶点的坐标为： $D(0,0,0),P(0,0,2),A(1,\sqrt{3},0),B(-1,\sqrt{3},0)$ 由于点 $F$ 为 $PD$ 的中点，其坐标为： $F(0,0,1)\text{（式4）}$

下面分别计算二面角两个半平面的法向量：

• 求解平面 $PAB$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$： $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,0,0)\text{（式5）}$ $\overrightarrow{AP}=P-A=(-1,-\sqrt{3},2)\text{（式6）}$ 设平面 $PAB$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则需满足垂直约束组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AB}=0⟹-2x_1=0⟹x_1=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AP}=0⟹-x_1-\sqrt{3}{y}_1+2z_1=0\end{array}$ 将 $x_1=0$ 代入第二式，得 $-\sqrt{3}{y}_1+2z_1=0$。 令 $z_1=\sqrt{3}$，解得 $y_1=2$。故平面 $PAB$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_1=(0,2,\sqrt{3})\text{（式7）}$

• 求解平面 $FAB$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$： 由（式4） $F(0,0,1)$，写出空间向量 $\overrightarrow{AF}$： $\overrightarrow{AF}=F-A=(-1,-\sqrt{3},1)\text{（式8）}$ 设平面 $FAB$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则需满足垂直约束组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AB}=0⟹-2x_2=0⟹x_2=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AF}=0⟹-x_2-\sqrt{3}{y}_2+z_2=0\end{array}$ 将 $x_2=0$ 代入第二式，得 $-\sqrt{3}{y}_2+z_2=0$． 令 $z_2=\sqrt{3}$，解得 $y_2=1$．故平面 $FAB$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_2=(0,1,\sqrt{3})\text{（式9）}$

• 利用向量夹角公式计算二面角的余弦值： 设二面角 $P-AB-F$ 的平面角大小为 $\theta$。 计算两个法向量（式7）与（式9）的数量积及各自模长： ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=0\times 0+2\times 1+\sqrt{3}\times \sqrt{3}=2+3=5\text{（式10）}$ $|{\vec{n}}_1|=\sqrt{0^2+2^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}\text{（式11）}$ $|{\vec{n}}_2|=\sqrt{0^2+1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\text{（式12）}$

  由几何图像观察，该二面角的平面角严格属于锐角区间，其余弦值等于两法向量夹角余弦值的绝对值： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$

答：二面角 $P-AB-F$ 的平面角的余弦值为 $\frac{5\sqrt{7}}{14}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直（$AB\perp \text{面 }PED$）向面面垂直的转化；正三角形几何高线的长度计算；空间法向量复杂方程组的联立求解。
2. 核心方法：空间直角坐标向量法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在第(2)问建系写顶点 $B$ 的坐标时，由于思维定势产生变号笔误：在本直角坐标系中，射线 $DX$ 与向量 $\overrightarrow{AB}$ 同向，这意味着从 $A$ 到 $B$ 的运动方向沿着 $x$ 轴负方向。因为 $A$ 的横坐标设为 1，边长为 2 导致 $B$ 的横坐标必须严格等于 $1-2=-1$，其坐标应为 $B(-1,\sqrt{3},0)$。如果误写成 $B(1,-\sqrt{3},0)$ 或者是 $B(2,\sqrt{3},0)$，整个后续的法向量和点积将全盘皆输。请牢记建系铁律：写出坐标后，无条件利用向量模长公式反向检验一次两点距离是否等于已知边长（$\sqrt{(-1-1{)}^2+0+0}=2$），通过 2 秒钟的核对步骤，可确保代数大题零笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学立体几何经典解答大题，属于高考考查立体几何空间感知力与利用现代空间向量工具定量精细化处理空间角恒等性质最典型的标准中档题。
2. 结论推广: 一般地，设非正交四棱锥的底面为边长为 $L$ 的标准菱形，其锐角内角为 $\alpha$。若其高线侧棱满足 $PD\perp \text{底面}$，且 $PD=L$．当动点 $F$ 位于侧棱 $PD$ 上满足线性分点比例 $\frac{DF}{DP}=\lambda (0\le \lambda \le 1)$ 时。根据外积恒等性质与射影面转换定理，该动态图形所形成的二面角 $P-AB-F$ 的平面角余弦值 $\cos \theta$，在齐次坐标变换下被唯一、严格地确定在以下代数封闭映射中： $\cos \theta =\frac{{\cos }^2(\alpha /2)+\lambda }{\sqrt{{\cos }^2(\alpha /2)+1}\sqrt{{\cos }^2(\alpha /2)+{\lambda }^2}}$。本题中 $\alpha =60^{\circ }⟹{\cos }^{2}30^{\circ }=\frac{3}{4},\lambda =\frac{1}{2}$，直接带入此推广封闭解通式可实现： $\cos \theta =\frac{3/4+1/2}{\sqrt{3/4+1}\sqrt{3/4+1/4}}=\frac{5/4}{\sqrt{7/4}\times 1}=\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$。这一二面角光向量消元技术在计算机三维游戏渲染的**法线贴图（Normal Mapping）**与光强阴影遮挡（Ambient Occlusion）算法中，构成了计算多面体网格边缘光线反射衰减系数最底层的矩阵控制核心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 2005-全国卷III文-19 解-四棱锥线面垂直与二面角
• 2006-江苏卷-19 解-折叠二面角与线面角