2001-新课标理-20乙 解-四棱锥体积与二面角

本题导读

本题考查四棱锥的体积与二面角。核心在于由几何法延长棱构造二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 $S-ABCD$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$SA\perp$ 面 $ABCD$，$SA=AB=BC=1$，$AD=\frac{1}{2}$.

(1) 求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积；

(2) 求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面直角梯形面积 $\frac{AD+BC}{2}\cdot AB$，体积 $\frac{1}{3}{S}_{底}h$。
2. 延长 $BA$、$CD$ 交于 $E$，证 $\angle BSC$ 为平面角，解三角形求正切。

✅【答案】

Success

体积 $\frac{1}{4}$；二面角正切 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 直角梯形 $ABCD$ 的面积 $S_{底}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot AB=\frac{1}{2}\times \left(1+\frac{1}{2}\right)\times 1=\frac{3}{4}$，又 $SA\perp$ 面 $ABCD$，故 $V=\frac{1}{3}\cdot S_{底}\cdot SA=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1=\frac{1}{4}$． (2) 延长 $BA$、$CD$ 相交于点 $E$，连接 $SE$，则 $SE$ 是所求二面角的棱．由 $AD\parallel BC$，$BC=2AD$，得 $EA=AB=SA$，故 $SE\perp SB$．又 $SA\perp$ 面 $ABCD$，得面 $SEB\perp$ 面 $EBC$，交线为 $EB$；又 $BC\perp EB$，所以 $BC\perp$ 面 $SEB$，故 $SB$ 是 $CS$ 在面 $SEB$ 上的射影，从而 $CS\perp SE$．所以 $\angle BSC$ 是所求二面角的平面角．$SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{2}$，$BC=1$，$BC\perp SB$，故 $\tan \angle BSC=\frac{BC}{SB}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥体积与二面角

核心方法：$V=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1=\frac{1}{4}$；延长 $BA$、$CD$ 交于 $E$，$\angle BSC$ 为平面角，$\tan \angle BSC=\frac{BC}{SB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：体积 $\frac{1}{3}{S}_{底}h$，延长棱构造平面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材棱锥体积与二面角

结论推广：一般地，体积用 $\frac{1}{3}{S}_{底}h$，二面角可延长棱找平面角

方法推广：延长棱构造平面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-20乙 解-四棱锥体积与二面角
• 2001-大纲文-18 解-四棱锥体积与二面角
• 2004-全国卷I文-21 解-四棱锥距离与二面角