2004-上海卷文-19 解-定义域与子集

本题导读

本题考查函数的定义域，以及集合的包含关系。核心在于通分化简根式定出 $A$、由对数真数为正定出 $D$，再按开区间整体落入分段列不等式。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 记函数 $f(x)=\sqrt{2-\frac{x+3}{x+1}}$ 的定义域为 $A$，$g(x)=\lg \left[(x-a-1)(2a-x)\right]$（$a<1$）的定义域为 $D$.

(1) 求 $A$；

(2) 若 $B\subseteq A$，求实数 $a$ 的取值范围.（原卷第(2) 问印作 $B\subseteq A$，其中 $B$ 即指 $g(x)$ 的定义域 $D$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2-\frac{x+3}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}⩾0$ 且 $x\ne -1$，$A=(-\infty ,-1)\cup [1,+\infty )$。
2. 真数为正且 $a<1$：$D=(2a,a+1)$。
3. $D\subseteq A$ 需 $a+1⩽-1$ 或 $2a⩾1$，结合 $a<1$：$a⩽-2$ 或 $\frac{1}{2}⩽a<1$。

✅【答案】

Success

(1) $A=(-\infty ,-1)\cup [1,+\infty )$

(2) $a⩽-2$ 或 $\frac{1}{2}⩽a<1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由根式有意义且分母不为零，得 $2-\frac{x+3}{x+1}=\frac{2(x+1)-(x+3)}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}⩾0$，且 $x\ne -1$.由符号分析得 $x<-1$ 或 $x⩾1$，即 $A=(-\infty ,-1)\cup [1,+\infty )$. （2）由对数真数为正，得 $(x-a-1)(2a-x)>0$.因为 $a<1$，所以 $2a<a+1$，从而 $D=(2a,a+1)$.要使 $D\subseteq A$，开区间 $D$ 必须完全落入 $(-\infty ,-1)$ 或 $[1,+\infty )$ 中：前者要求 $a+1⩽-1$，即 $a⩽-2$；后者要求 $2a⩾1$，即 $a⩾\frac{1}{2}$.结合 $a<1$，得实数 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-2]\cup \left[\frac{1}{2},1\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定义域与子集
2. 核心方法：$2-\frac{x+3}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}⩾0$ 且 $x\ne -1$，$A=(-\infty ,-1)\cup [1,+\infty )$；$g$ 的定义域 $D=(2a,a+1)$，$D\subseteq A$ 需 $a+1⩽-1$ 或 $2a⩾1$，结合 $a<1$ 得 $a⩽-2$ 或 $\frac{1}{2}⩽a<1$
3. 避坑指南：分式根式先通分再按符号定区间；开区间 $D$ 整体落入 $A$ 的左段或右段，端点可取等；别忘了前提 $a<1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于函数定义域与集合包含关系，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：开区间 $(m,n)\subseteq A⟺$ 整个区间落入 $A$ 的某一段；根式分式通分定 $A$，对数真数正定 $D$，按左段/右段列不等式组

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-15 解-定义域与集合交并
• 2006-广东卷-01 单-根式对数定义域
• 2005-湖北卷文-13 填-对数根式函数的定义域