2005-北京春文-15 解-定义域与集合交并

本题导读

本题考查函数的定义域与集合的交、并运算。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 设函数 $f(x)=\lg (2x-3)$ 的定义域为集合 $M$，函数 $g(x)=\sqrt{(x-3)(x-1)}$ 的定义域为集合 $N$．求：

(1) 集合 $M$，$N$；

(2) 集合 $M\cap N$，$M\cup N$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对数真数为正：$2x-3>0$ 得 $M=\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$。
2. 根式非负：$(x-3)(x-1)\ge 0$ 得 $N=(-\infty ,1]\cup [3,+\infty )$。
3. 数轴上取交与并。

✅【答案】

Success

所以(x−3)(x−1) ≥0，得N= (−∞, 1] ∪[3, +∞)

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为对数的真数必须为正，所以 $2x-3>0$，得 $M=\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$．因为根式内的式子必须非负，所以 $(x-3)(x-1)\ge 0$，得 $N=(-\infty ,1]\cup [3,+\infty )$． (2) 由上述两个集合直接得到 $M\cap N=[3,+\infty )$，$M\cup N=(-\infty ,1]\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定义域与集合交并

核心方法：对数真数正、根式非负分别解，再取交并

避坑指南：$M=\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$，$N=(-\infty ,1]\cup [3,+\infty )$，交 $[3,+\infty )$，并 $(-\infty ,1]\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$；区间端点开闭别写错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数定义域与集合运算（人教 A 版必修一）

结论推广：对数真数为正、根式被开方数非负是两大约束；区间端点处取交并

方法推广：定义域先各自解出，再用数轴取交并，端点开闭逐一核对

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-02 单-集合运算
• 2020-新课标I文-01 单-集合运算