2005-湖北卷文-13 填-对数根式函数的定义域

本题导读

本题考查函数定义域的求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-3}\lg \sqrt{4-x}$ 的定义域是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根式被开方数非负：$x-2⩾0$。
2. 分母非零：$x-3\ne 0$。
3. 对数真数为正：$\sqrt{4-x}>0⟺x<4$。
4. 取三条件交集。

✅【答案】

Success

$[2,3)\cup (3,4)$

✍【详细解析】

Abstract

由根式有意义，需 $x-2⩾0$，即 $x⩾2$；分母不能为零，故 $x\ne 3$；对数的真数必须为正，$\sqrt{4-x}>0⟺x<4$．综合得 $2⩽x<4$ 且 $x\ne 3$，故定义域为 $[2,3)\cup (3,4)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数根式函数的定义域

核心方法：$x-2⩾0$、$x\ne 3$、$4-x>0$ 联立

避坑指南：分母 $x-3$ 是整个分式的分母；对数真数 $\sqrt{4-x}>0$ 严格大于——别漏 $x\ne 3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数的概念

结论推广：$x⩾2$、$x\ne 3$、$x<4$ 联立得 $[2,3)\cup (3,4)$

方法推广：复合定义域逐层列约束：根号内非负、分母非零、对数真数为正

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I文-13 填-对数函数
• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2009-江西卷文-02 单-函数定义域