2003-大纲文-16 填-地图着色计数

本题导读

本题考查地图着色问题，重点在于先涂限制最多的中心区域，再分类处理外围环。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 如图，一个地区分为 $5$ 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 $4$ 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 $\underline{}$种.（以数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先给中心区域 1 着色，有 $4$ 种。
2. 外围 2、3、4、5 用其余 3 色：2、4 同色 $3\times 2\times 1\times 2=12$；2、4 异色 $3\times 2\times 1\times 1=6$。
3. 共 $4\times (12+6)=72$ 种。

✅【答案】

Success

$72$

✍【详细解析】

Abstract

先给中心区域 1 着色，有 $4$ 种方法。中心确定后，外围四个区域可用其余 $3$ 种颜色，且相邻外围区域颜色不同。外围四区构成四边形环：若区域 2 与区域 4 同色，有 $3\times 2\times 1\times 2=12$ 种；若区域 2 与区域 4 异色，有 $3\times 2\times 1\times 1=6$ 种，共 $18$ 种。故总着色方法数为 $4\times 18=72$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：地图着色计数
2. 核心方法：中心区域 4 种；外围四区用 3 色：2、4 同色 $3\times 2\times 1\times 2=12$，2、4 异色 $3\times 2\times 1\times 1=6$，共 $4\times (12+6)=72$
3. 避坑指南：先涂中心（限制最多）再涂外围环；按”对顶区域同色/异色”分两类，勿重漏

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于染色问题，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：环形区域染色用分步+分类，先涂限制最多的中心；先中心后外围，按对顶同异色分类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-16 填-三棱台染色计数
• 2004-天津文-16 填-整除三位数计数
• 2004-湖北文-11 单-错排计数