2004-湖北文-11 单-错排计数

本题导读

本题考查排列组合中的错排问题。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 将标号为 $1,2,\cdots ,10$ 的 $10$ 个球放入标号为 $1,2,\cdots ,10$ 的 $10$ 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 $3$ 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为()

A. $120$　　　　　　B. $240$　　　　　　C. $360$　　　　　　D. $720$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先选出这 $3$ 个标号不一致的盒子：${\mathrm{C}}_{10}^3$。
2. 这 3 个球在 3 个盒中无固定点排列，错排数 $D_3=2$。
3. 其余 7 球对号入座，共 ${\mathrm{C}}_{10}^3\times 2=240$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

恰好有 $3$ 个球的标号与盒子标号不一致，等价于先选出这 $3$ 个盒子，共有 ${\mathrm{C}}_{10}^3$ 种选法；选定后，这 $3$ 个球必须在这 $3$ 个盒子中形成无固定点的排列，即错排，三元素错排数为 $D_3=2$；其余 $7$ 个球只能对号入座，各有一种放法。故放入方法数为 ${\mathrm{C}}_{10}^3\times 2=120\times 2=240$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：错排计数
2. 核心方法：恰 3 球错位：先选 3 盒 ${\mathrm{C}}_{10}^3$，3 元素无固定点排列（错排 $D_3=2$），共 ${\mathrm{C}}_{10}^3\times 2=120\times 2=240$
3. 避坑指南：错排 $D_3=2$（两个三循环）；其余 7 球必须对号入座（固定），勿再排列

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于错排问题，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：$n$ 个元素无固定点排列数 $D_n$，$D_3=2$；先选错位的对象，再套错排数，其余固定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.05 错位问题

类题演练 (Links)

• 2006-辽宁文-16 填-排列组合特殊位置限制
• 2007-辽宁文-12 单-排列组合容斥计数
• 2005-浙江卷文-14 填-排列组合至多至少计数