2004-天津文-16 填-整除三位数计数

本题导读

本题考查能被 5 整除的三位数的计数。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 从 $0,1,2,3,4,5$ 中任取 $3$ 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被 $5$ 整除的三位数共有 $\underline{}$个.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 被 5 整除末位为 $0$ 或 $5$。
2. 末位 $0$：百位 $5$ 种（去 $0$）、十位 $4$ 种。
3. 末位 $5$：百位 $4$ 种（去 $0,5$）、十位 $4$ 种。

✅【答案】

Success

$36$

✍【详细解析】

Abstract

能被 $5$ 整除的三位数末位为 $0$ 或 $5$.末位为 $0$ 时，百位从 $1,2,3,4,5$ 中取 $5$ 种、十位从剩余 $4$ 个中取 $4$ 种，共 $5\times 4=20$ 个；末位为 $5$ 时，百位不能为 $0$ 或 $5$，从 $1,2,3,4$ 中取 $4$ 种、十位从剩余 $4$ 个（含 $0$，去百位、末位）中取 $4$ 种，共 $4\times 4=16$ 个。故共有 $20+16=36$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：整除三位数计数
2. 核心方法：能被 5 整除的三位数末位为 $0$ 或 $5$；末位 $0$：百位 $5$ 种（去 $0$）、十位 $4$ 种 $=20$；末位 $5$：百位 $4$ 种（去 $0,5$）、十位 $4$ 种 $=16$；共 $36$
3. 避坑指南：末位 $0$ 与 $5$ 分类；末位 $5$ 时百位不能为 $0$ 或 $5$，十位不能与百位、末位重复

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于排列组合计数，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：被 5 整除三位数末位为 0 或 5，分类计数；按末位分类，注意首位不能为 0、数字不重复

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-15 填-不能整除的计数
• 2004-全国卷II文-12 单-数字排列计数
• 2005-北京卷文-08 单-受限排列计数