2005-全国卷II文-15 填-不能整除的计数

本题导读

本题考查分类加法与分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 在由数字 $0,1,2,3,4,5$ 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 $5$ 整除的数共有$\underline{}$个．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不能被 $5$ 整除即末位不能为 $0$ 或 $5$，末位有 $4$ 种选法。
2. 首位不能为 $0$，从剩余五个数字中选有 $4$ 种。
3. 中间两位从剩余四个数字依次选，$4\times 3$ 种；总数 $4\times 4\times 4\times 3=192$。

✅【答案】

Success

$192$

✍【详细解析】

Abstract

四位数不能被 $5$ 整除，末位不能为 $0$ 或 $5$，故末位有 $4$ 种选法． 确定末位后，首位从剩下的五个数字中不能取 $0$，有 $4$ 种选法；中间两位从剩下的四个数字中依次选取，有 $4\times 3$ 种选法． 因此共有 $4\times 4\times 4\times 3=192$ 个．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不能整除的计数

核心方法：末位不能 0 或 5 有 4 种；首位不能 0 有 4 种；中间两位 $4\times 3$，共 $4\times 4\times 4\times 3=192$

避坑指南：不能被 5 整除即末位非 0 且非 5；首位额外限制不能为 0，逐位分步相乘，别漏首位限制

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分类分步计数原理的典型

结论推广：末位限制优先，再处理首位不能为 0

方法推广：逐位分步相乘，注意 0 的额外限制

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-14 填-男女选人组合计数
• 2008-湖南文-08 单-至少一个选中计数
• 2009-大纲Ⅰ文-07 单-组合计数