2004-全国卷II文-12 单-数字排列计数

本题导读

本题考查排列与计数，以及满足双侧不等式的自然数计数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 在由数字 $1,2,3,4,5$ 组成的所有没有重复数字的 $5$ 位数中，大于 $23145$ 且小于 $43521$ 的数共有()

A. $56$ 个　　　　　B. $57$ 个　　　　　C. $58$ 个　　　　　D. $60$ 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 首位为 $2$ 且大于 $23145$：逐位比较计数。
2. 首位为 $3$：全部满足，$4!=24$ 个。
3. 首位为 $4$ 且小于 $43521$：逐位比较计数。
4. 三类相加。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

按首位分类计数。首位为 $2$ 且大于 $23145$：第二位为 $4$ 或 $5$ 的有 $2\times 3!=12$ 个，第二位为 $3$ 且第三位为 $4$ 或 $5$ 的有 $2\times 2!=4$ 个，前缀 $231$ 且第四位为 $5$ 的有 $1$ 个，共 $17$ 个；首位为 $3$ 的数全部满足，共 $4!=24$ 个；首位为 $4$ 且小于 $43521$：第二位为 $1$ 或 $2$ 的有 $2\times 3!=12$ 个，前两位 $43$ 且第三位为 $1$ 或 $2$ 的有 $2\times 2!=4$ 个，前三位 $435$ 且第四位为 $1$ 的有 $1$ 个，共 $17$ 个。总数为 $17+24+17=58$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数字排列计数
2. 核心方法：首位 2 且大于 23145：17 个；首位 3：$4!=24$ 个；首位 4 且小于 43521：17 个；合计 $58$
3. 避坑指南：三类分别计数：首位 2 需逐位比较（$23145$ 之后的尾数），首位 3 全部满足，首位 4 对照上界 $43521$——漏”恰好等于前缀后最后一位补足”的情形会错

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于排列的分类计数，教材”计数原理”数字问题
2. 结论推广: 一般化：满足双侧不等式的自然数个数按首位分段计数；与边界数逐位比较：前缀相同后看下一位，分”大于/等于/小于”讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷文-08 单-受限排列计数
• 2006-北京文-04 单-数字和奇偶排列计数
• 2007-辽宁文-12 单-排列组合容斥计数