2004-浙江文-16 填-计数组合

本题导读

本题考查计数原理与组合数的应用。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 $x$ 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 $1$ 个单位，经过 $5$ 次跳动质点落在点 $(3,0)$（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 $\underline{}$种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正向跳 $r$ 次、负向 $5-r$ 次，$r-(5-r)=3$。
2. 解得 $r=4$，即 $4$ 次正向、$1$ 次负向。
3. 从 $5$ 次中选 $1$ 次负向，${\mathrm{C}}_5^1=5$ 种。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

设向正方向跳了 $r$ 次，向负方向跳了 $5-r$ 次。终点横坐标为 $3$，故 $r-(5-r)=3$，解得 $r=4$.只需从 $5$ 次跳动中选出其中一次向负方向跳，便确定一种运动方法，因此方法数为 ${\mathrm{C}}_5^1=5$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：计数组合
2. 核心方法：设正向跳 $r$ 次、负向 $5-r$ 次，$r-(5-r)=3$ 得 $r=4$；从 $5$ 次中选 $1$ 次负向即定一种方法，共 ${\mathrm{C}}_5^1=5$ 种
3. 避坑指南：由终点横坐标列 $r-(5-r)=3$ 定正负次数；方法数只取决于哪一次负向，即 ${\mathrm{C}}_5^1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于计数与组合，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：由约束列方程定正负次数，方法数 ${\mathrm{C}}_n^r$；先由方程定次数，再用组合数确定选取位置

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-12 单-数字排列计数
• 2005-全国卷I文-15 填-至少一名女生计数
• 2004-北京卷文-05 单-组合计数与钝角三角形