2004-北京卷文-05 单-组合计数与钝角三角形

本题导读

本题考查组合计数，以及钝角三角形的判定。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 从长度分别为 $1,2,3,4,5$ 的五条线段中，任取三条的不同取法共有 $n$ 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 $m$，则 $\frac{m}{n}$ 等于()

A. $\frac{1}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{3}{10}$　　　　　　D. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $n={\mathrm{C}}_5^3=10$。
2. 能构成三角形的组合有 $(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)$。
3. 判定钝角：仅 $(2,3,4)$ 满足 $2^2+3^2<4^2$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

任取三条的不同取法数 $n={\mathrm{C}}_5^3=10$.能构成三角形的组合须满足较短两边之和大于最长边，只有 $(2,3,4)$、$(2,4,5)$、$(3,4,5)$ 三种。其中钝角三角形须最长边的平方大于另两边的平方和：$(2,3,4)$ 中 $2^2+3^2=13<4^2=16$，为钝角；$(2,4,5)$ 中 $2^2+4^2=20<25$，也为钝角；$(3,4,5)$ 中 $3^2+4^2=25=5^2$，为直角。故钝角三角形有 $m=2$ 个，$\frac{m}{n}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合计数与钝角三角形
2. 核心方法：五条线段任取三条 ${\mathrm{C}}_5^3=10$ 种；能成三角形须两边之和大于第三边，只有 $(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)$ 三种，其中钝角仅 $(2,3,4)$（$2^2+3^2<4^2$），故 $\frac{m}{n}=\frac{1}{10}$
3. 避坑指南：钝角条件：最长边平方 $>$ 其余两边平方和；$(2,4,5)$ 是锐角，$(3,4,5)$ 是直角，只有 $(2,3,4)$ 钝角

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于组合计数与三角形，教材”计数原理”与”解三角形”
2. 结论推广: 一般化：任取三线段构成三角形需两边之和大于第三边，钝角需最长边平方 $>$ 另两边平方和；先枚举满足三角形的组合，再用勾股判定钝角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-05 单-分步组合计数
• 2009-大纲Ⅰ文-07 单-组合计数
• 2008-大纲Ⅱ文-14 填-男女选人组合计数