2003-天津文-15 填-勾股定理空间类比

本题导读

本题考查平面勾股定理到空间三棱锥的面积类比。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 在平面几何里，有勾股定理：“设 $△ABC$ 的两边 $AB$、$AC$ 互相垂直，则 $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 $A-BCD$ 的三个侧面 $ABC$、$ACD$、$ADB$ 两两互相垂直，则 $\underline{}$.”

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平面：两直角边平方和等于斜边平方。
2. 类比空间：三个两两垂直侧面的面积平方和等于底面面积平方。
3. $S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$。

✅【答案】

Success

$S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$

✍【详细解析】

Abstract

平面勾股定理中，“直角边”对应空间的”两两垂直的侧面”，“斜边”对应”底面”；边长平方和类比面积平方和。故正确结论为 $S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：勾股定理空间类比
2. 核心方法：平面勾股 $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ 类比空间 $S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$
3. 避坑指南：线段平方和类比面积平方和；三侧面两两垂直

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于类比推理，教材”推理与证明”
2. 结论推广: 一般化：平面勾股（边平方和）类比空间（面积平方和）；线段平方和类比面积平方和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 26.01 合情推理与演绎推理

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-16 填-地图着色计数
• 2008-大纲Ⅱ文-16 填-平行六面体充要条件类比
• 2009-江苏卷-08 填-类比推理