2003-广东卷-15 填-类比推理

本题导读

本题主要考查合情推理中的类比推理。解题的关键在于理解平面几何特征向空间几何特征的维度映射规律，将平面上的“线段长度”类比为空间中的“区域面积”，将平面的“两线垂直”类比为空间的“两面垂直（或三条侧棱两两垂直）”，从而得出正确的类比结论。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 在平面几何里，有勾股定理：“设 $△ABC$ 的两边 $AB,AC$ 互相垂直，则 $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出输入正确的结论是：“设三棱锥 $A-BCD$ 的三个侧面 $ABC、ACD、ADB$ 两两互相垂直，则$\underline{}$____.”

🔍【思路分析】

破题导航

通过构建平面几何元素与空间几何元素之间的类比映射链条进行推导：

平面几何元素	空间几何元素
二维平面图形（直角三角形 $△ABC$）	三维空间图形（直角直角三棱锥 $A-BCD$）
直角边 $AB,AC$（两条线段）	直角侧面 $S_{△ABC},S_{△ACD},S_{△ADB}$（三个面）
直角边的几何度量（线段长度的平方：$A{B}^2,A{C}^2$）	侧面的几何度量（区域面积的平方：$S_{△ABC}^2,S_{△ACD}^2,S_{△ADB}^2$）
斜边 $BC$（一维边界）	底面 $△BCD$（二维底面区域）
勾股代数结构（两直角边平方和等于斜边平方）	空间代数结构（三侧面面积平方和等于底面面积平方）

✅【答案】

Success

$S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$

✍【详细解析】

Abstract

根据类比推理的映射规则：

• 平面直角三角形的两个直角边类比为直角三棱锥的三个直角侧面；
• 平面三角形的斜边类比为三棱锥的底面；
• 长度的平方和关系类比为面积的平方和关系。

由平面几何勾股定理： ${\text{直角边}}_1^2+{\text{直角边}}_2^2={\text{斜边}}^2⟹A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

类比映射到空间中，可得出三棱锥的侧面积与底面积之间的平方和关系： ${\text{侧面积}}_1^2+{\text{侧面积}}_2^2+{\text{侧面积}}_3^2={\text{底面积}}^2$

即： $S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$

答案：$S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$（或填：三个侧面面积的平方和等于底面面积的平方）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：合情推理中的类比推理，高维勾股定理的代数表达。
2. 核心方法：结构对应法。确保几何对象的维度升级（线 $\to$ 面）与代数运算幂次特征不发生逻辑断层。
3. 避坑指南：

   • 极易受常规思维干扰，错将面积关系直接写成一次方求和（如 $S_{△ABC}+S_{△ACD}+S_{△ADB}=S_{△BCD}$），忽略了勾股定理的核心是二次方（平方）。

   • 书写具体解析式时，注意字母对应，底面由三个侧面的外围顶点组成，即为 $△BCD$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于科学方法论在初等数学中的典型应用，源于近代几何学中著名的“德古阿定理（De Gua’s theorem）”，该定理在 1783 年由法国数学家德古阿正式向科学院提交，被称为“三维空间下的勾股定理”。
2. 结论推广: 德古阿定理可进一步推广到 $n$ 维欧几里得空间：若一个 $n$ 维单形（Simplex）在某个顶点处的 $n$ 个超平面两两垂直，则该顶点的 $n$ 个“直角面”（$n-1$ 维体积）的平方和，等于其对向“斜面”（底面）的 $n-1$ 维体积的平方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 26.01 合情推理与演绎推理

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-15 填-勾股定理空间类比
• 2003-天津文-15 填-勾股定理空间类比
• 2006-湖北文-15 填-导数类比球体积