2003-大纲文-15 填-勾股定理空间类比

本题导读

本题考查类比推理，将平面勾股定理类比到空间三棱锥。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 在平面几何里，有勾股定理：“设 $△ABC$ 的两边 $AB$、$AC$ 互相垂直，则 $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 $A-BCD$ 的三个侧面 $ABC$、$ACD$、$ADB$ 两两互相垂直，则 $\underline{}$.”

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平面：直角两边平方和等于斜边平方。
2. 类比空间：三侧面面积平方和等于底面面积平方。
3. 结论 $S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$。

✅【答案】

Success

$S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=p$，$AC=q$，$AD=r$，因三个侧面两两垂直，从 $A$ 出发的三条棱两两垂直。三个侧面面积分别为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}pq$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}qr$，$S_{△ADB}=\frac{1}{2}rp$.以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，$B=(p,0,0)$，$C=(0,q,0)$，$D=(0,0,r)$，则 ${\left|\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BD}\right|}^2=p^2{q}^2+p^2{r}^2+q^2{r}^2$，故 $S_{△BCD}^2=\frac{1}{4}(p^2{q}^2+p^2{r}^2+q^2{r}^2)=S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2$.所以应填 $S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：勾股定理空间类比
2. 核心方法：三侧面两两垂直，从 $A$ 出发三棱两两垂直；类比得 $S_{△ABC}^2+S_{△ACD}^2+S_{△ADB}^2=S_{△BCD}^2$
3. 避坑指南：平面勾股（边平方）类比空间（面积平方）；三侧面面积平方和=底面面积平方，勿类比成一次方

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于类比推理，教材”推理与证明”
2. 结论推广: 一般化：平面勾股（边平方和）类比空间（面积平方和）；从二维到三维的类比猜想

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 22.01 计数原理、排列与组合
• 26.01 合情推理与演绎推理

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-15 填-导数类比球体积
• 2008-大纲Ⅱ文-16 填-平行六面体充要条件类比
• 2009-江苏卷-08 填-类比推理