2003-北京文-05 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的离心率，以及直线在坐标轴上的截距。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 如图，直线 $l:x-2y+2=0$ 过椭圆的左焦点 $F_1$ 和一个顶点 $B$，该椭圆的离心率是()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线与 $x$ 轴交点为左焦点 $F_1(-2,0)$，得 $c=2$；与 $y$ 轴交点为顶点 $B(0,1)$，得 $b=1$。
2. $a^2=b^2+c^2=5$，$e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $(-2,0)$，即 $F_1(-2,0)$，故 $c=2$；与 $y$ 轴的交点为 $(0,1)$，即顶点 $B(0,1)$，故 $b=1$.于是 $a^2=b^2+c^2=5$，$a=\sqrt{5}$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率
2. 核心方法：直线 $x-2y+2=0$ 与 $x$ 轴交于 $(-2,0)$ 得 $c=2$，与 $y$ 轴交于 $(0,1)$ 得 $b=1$，故 $a^2=b^2+c^2=5$，$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
3. 避坑指南：截距定 $c$ 与 $b$，$b^2=a^2-c^2$ 切勿写成 $a^2=b^2-c^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材椭圆的标准方程
2. 结论推广: 一般地，由直线与坐标轴的交点确定椭圆的 $b$ 与 $c$，再求离心率；抓住截距与椭圆几何量的对应关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-11 单-椭圆离心率
• 2005-全国卷III文-10 单-椭圆离心率求值
• 2007-北京文-04 单-椭圆离心率范围