2004-浙江文-11 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的焦点与离心率。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 若椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，线段 $F_1{F}_2$ 被点 $\left(\frac{b}{2},0\right)$ 分成 $5:3$ 两段，则此椭圆的离心率为()

A. $\frac{16}{17}$　　　　　　B. $\frac{4\sqrt{17}}{17}$　　　　　　C. $\frac{4}{5}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 焦点 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$，点 $R=(\frac{b}{2},0)$。
2. $\frac{c+b/2}{c-b/2}=\frac{5}{3}$，解得 $c=2b$。
3. $a^2=b^2+c^2=5b^2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{2b}{\sqrt{5}b}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆的焦点为 $F_1=(-c,0)$，$F_2=(c,0)$，其中 $c>0$，记点 $R=\left(\frac{b}{2},0\right)$.由于 $R$ 把 $F_1{F}_2$ 分成较长的 $5$ 与较短的 $3$ 两段，有 $\frac{c+b/2}{c-b/2}=\frac{5}{3}$，解得 $c=2b$.又椭圆满足 $a^2=b^2+c^2$，所以 $a^2=5b^2$，从而 $e=\frac{c}{a}=\frac{2b}{\sqrt{5}b}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率
2. 核心方法：焦点 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$，点 $R=(\frac{b}{2},0)$ 把 $F_1{F}_2$ 分 $5:3$，$\frac{c+b/2}{c-b/2}=\frac{5}{3}$ 得 $c=2b$；又 $a^2=b^2+c^2=5b^2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
3. 避坑指南：分点 $R$ 横坐标 $\frac{b}{2}$ 在 $0$ 与 $c$ 之间，长段为 $c+\frac{b}{2}$；离心率 $e=\frac{c}{a}<1$ 检验

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于椭圆的离心率，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，结合焦点分线段列方程；由焦点与分点关系列方程求 $c$ 与 $b$ 的关系，再算 $e$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2007-大纲Ⅱ文-11 单-椭圆离心率
• 2007-安徽文-02 单-椭圆离心率