2003-上海文-16 单-奇函数图象变换

本题导读

本题考查奇函数的图象，以及函数图象的平移伸缩变换。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） $f(x)$ 是定义在区间 $[-c,c]$ 上的奇函数，其图象如图所示：令 $g(x)=af(x)+b$，则下列关于函数 $g(x)$ 的叙述正确的是()

A. 若 $a<0$，则函数 $g(x)$ 的图象关于原点对称

B. 若 $a=-1$，$-2<b<0$，则方程 $g(x)=0$ 有大于 $2$ 的实根

C. 若 $a\ne 0$，$b=2$，则方程 $g(x)=0$ 有两个实根

D. 若 $a⩾1$，$b<2$，则方程 $g(x)=0$ 有三个实根

🔍【思路分析】

破题导航

1. $g(x)=0⟺af(x)=-b⟺f(x)=-\frac{b}{a}$。
2. 由图象 $y=f(x)$ 与水平线 $y=-\frac{b}{a}$ 的交点判断。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$g(x)=0$ 即 $af(x)+b=0$，即 $f(x)=-\frac{b}{a}$.当 $a=-1$、$-2<b<0$ 时，$-\frac{b}{a}=b\in (-2,0)$，由图象（$f$ 为奇函数）可知直线 $y=b$ 与 $y=f(x)$ 在 $x>2$ 处有交点（因 $f(2)=-2$ 或 $\pm 2$ 处取值配合 $b>-2$），故方程有大于 $2$ 的实根，B 正确。其余选项经图象检验不成立。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数图象变换
2. 核心方法：$g(x)=af(x)+b$，$a=-1,-2<b<0$ 时 $g(x)=0⟺f(x)=b$，由图象 $f(x)=b$ 有大于 $2$ 的根，选 B
3. 避坑指南：$af(x)+b=0$ 化 $f(x)=-\frac{b}{a}$，数形结合看交点

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材奇函数图象变换
2. 结论推广: 一般地，$af(x)+b=0$ 的根化为 $f(x)=-\frac{b}{a}$ 与图象交点；数形结合判断根的个数与位置

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-05 填-奇函数图象解不等式
• 2005-山东卷文-05 单-奇函数与单调性
• 2005-江西卷文-13 填-奇函数定参数