2005-山东卷文-05 单-奇函数与单调性

本题导读

本题考查函数奇偶性与单调性的综合判断，以及对数型函数性质的识别。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 下列函数既是奇函数，又在区间 $[-1,1]$ 上单调递减的是()

A. $f(x)=\sin x$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B. $f(x)=-|x+1|$

C. $f(x)=\frac{1}{2}\left(a^x+a^{-x}\right)$　　　　　　　　　　　　　　D. $f(x)=\ln \frac{2-x}{2+x}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A 在 $[-1,1]$ 递增，排除。
2. B 图象平移后不是奇函数，C 是偶函数。
3. D 验 $f(-x)=-f(x)$ 且 $f^{\prime }(x)<0$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

对选项 D，$f(x)=\ln \frac{2-x}{2+x}$ 的定义域包含 $[-1,1]$，且 $f(-x)=\ln \frac{2+x}{2-x}=-\ln \frac{2-x}{2+x}=-f(x)$，所以它是奇函数．又 $f(x)=\ln (2-x)-\ln (2+x)$，$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2-x}-\frac{1}{2+x}=-\frac{4}{4-x^2}<0$（$|x|⩽1$），故它在 $[-1,1]$ 上单调递减．选项 A 在该区间上单调递增，B 的图象由 $-|x|$ 平移而来、不关于原点对称，C 满足 $f(-x)=f(x)$ 是偶函数，因此选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数与单调性

核心方法：逐项验奇偶性与导数符号

避坑指南：$-|x+1|$ 图象平移后不再关于原点对称；$\frac{a^x+a^{-x}}{2}$ 是偶函数；对数函数先看真数取正化成 $\ln \frac{2-x}{2+x}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数的基本性质

结论推广：$f(x)=\ln \frac{2-x}{2+x}$ 是奇函数且 $f^{\prime }(x)=\frac{-4}{4-x^2}<0$ 于 $[-1,1]$

方法推广：对数型奇偶性先化为真数商形式验证 $f(-x)=-f(x)$；单调性用导数最快

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

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