2002-上海卷文-15 单-分段奇偶函数图象

本题导读

本题考查含绝对值函数的图象，以及分段讨论单调性。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 函数 $y=x+\sin |x|$，$x\in [-\pi ,\pi ]$ 的大致图象是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x\ge 0$ 时 $y=x+\sin x$ 单调递增。
2. $x<0$ 时 $y=x-\sin x$，$y^{\prime }=1-\cos x\ge 0$ 也递增。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\ge 0$ 时，$\sin |x|=\sin x$，$y=x+\sin x$，$y^{\prime }=1+\cos x\ge 0$，单调递增；当 $x<0$ 时，$\sin |x|=\sin (-x)=-\sin x$，$y=x-\sin x$，$y^{\prime }=1-\cos x\ge 0$，仍单调递增．故函数在 $[-\pi ,\pi ]$ 上单调递增，且 $y(0)=0$，图象为过原点的递增曲线，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段奇偶函数图象

核心方法：$x\ge 0$ 时 $y=x+\sin x$ 单调增；$x<0$ 时 $y=x-\sin x$ 单调减，图象选 C

避坑指南：分段看 $\sin |x|$ 在 $x\ge 0$ 为 $\sin x$、$x<0$ 为 $-\sin x$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材分段函数图象

结论推广：一般地，含 $|x|$ 的函数分段讨论单调性

方法推广：分 $x\ge 0$ 与 $x<0$ 看 $\sin |x|$ 取值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-16 单-奇函数图象变换