2004-上海卷文-05 填-奇函数图象解不等式

本题导读

本题考查奇函数的图象性质，以及利用图象解不等式。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 设奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-5,5]$.若当 $x\in [0,5]$ 时，$f(x)$ 的图象如右图，则不等式 $f(x)<0$ 的解是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 读图：$[0,5]$ 上 $f$ 在 $(0,2)$ 为正，$x=0,2$ 处为零，$(2,5]$ 为负。
2. $x\in [-5,0]$ 时 $f(x)<0⟺f(-x)>0⟺-x\in (0,2)⟺x\in (-2,0)$。
3. 解集 $(-2,0)\cup (2,5]$。

✅【答案】

Success

$(-2,0)\cup (2,5]$

✍【详细解析】

Abstract

由图可知，在 $[0,5]$ 上，函数在 $(0,2)$ 内为正，在 $x=0$ 和 $x=2$ 时为零，在 $(2,5]$ 内为负。因为 $f$ 是奇函数，当 $x\in [-5,0]$ 时，$f(x)<0$ 等价于 $f(-x)>0$，即 $-x\in (0,2)$，得 $-2<x<0$.合并正半轴上的解，得 $x\in (-2,0)\cup (2,5]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数图象解不等式
2. 核心方法：$[0,5]$ 上 $f<0$ 的解为 $(2,5]$；奇函数关于原点对称，$x\in (-2,0)$ 时 $-x\in (0,2)$、$f(-x)>0$ 故 $f(x)<0$；解集 $(-2,0)\cup (2,5]$
3. 避坑指南：奇函数在 $[-5,0]$ 的正负与 $[0,5]$ 相反；端点 $0,\pm 2$ 处 $f=0$ 不取，右端点 $5$ 处 $f<0$ 要取

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于函数的奇偶性与图象，教材”函数的性质”
2. 结论推广: 一般化：奇函数 $f(x)<0$ 的解由 $f(-x)>0$ 转化到已知图象区间；先读图定正负区间，再用奇对称翻折到负半轴，合并写解集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-04 单-奇函数图象对称
• 2004-全国卷I文-02 单-对数型奇函数求值