2004-全国卷I文-02 单-对数型奇函数求值

本题导读

本题考查对数函数的性质，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 已知函数 $f(x)=\lg \frac{1-x}{1+x}$，若 $f(a)=\frac{1}{2}$，则 $f(-a)=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 检验 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系：真数分子分母互换。
2. 得 $f(x)$ 为奇函数，$f(-a)=-f(a)$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$f(-x)=\lg \frac{1+x}{1-x}=\lg {\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{-1}=-\lg \frac{1-x}{1+x}=-f(x)$，故 $f(x)$ 是奇函数。由 $f(a)=\frac{1}{2}$ 得 $f(-a)=-f(a)=-\frac{1}{2}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数型奇函数求值
2. 核心方法：$f(x)=\lg \frac{1-x}{1+x}$ 满足 $f(-x)=\lg \frac{1+x}{1-x}=-f(x)$，故 $f(-a)=-f(a)=-\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：$f(x)$ 是奇函数（$\lg$ 内分子分母互换取负），$f(a)=\frac{1}{2}\Rightarrow f(-a)=-\frac{1}{2}$——别去硬解 $a$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于对数函数与奇偶性，教材”对数函数”中 $f(x)=\lg \frac{1-x}{1+x}$ 是典型奇函数
2. 结论推广: 一般化：形如 $\lg \frac{a-x}{a+x}$ 的函数均为奇函数，$f(-x)=-f(x)$；先识别函数的奇偶性再代值，避免直接解方程求 $a$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-07 单-奇函数对数求值
• 2005-北京卷文-13 填-对数函数性质判定
• 2006-全国卷II文-08 单-对数函数求反函数