2005-北京卷文-13 填-对数函数性质判定

本题导读

本题考查对数函数的性质、单调性与图象的凹凸性。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 对于函数 $f(x)$ 定义域中任意的 $x_1$，$x_2$（$x_1\ne x_2$），有如下结论： ① $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$； ② $f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)$； ③ $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$； ④ $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$． 当 $f(x)=\lg x$ 时，上述结论中正确结论的序号是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\lg$ 的定义域为 $(0,+\infty )$；①即 $\lg (x_1+x_2)=\lg x_1\lg x_2$，取 $x_1=1$，$x_2=2$ 检验不成立。
2. ② $\lg (x_1{x}_2)=\lg x_1+\lg x_2$ 是对数运算律，成立。
3. ③ $\lg x$ 单调递增，差商为正，成立。
4. ④ $\lg x$ 上凸，中点函数值大于两端点平均值，不等号反向，不成立。

✅【答案】

Success

②③

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=\lg x$ 的定义域为 $(0,+\infty )$．结论①一般不成立，例如取 $x_1=1$，$x_2=2$ 时，左边为 $\lg 3$，右边为 $\lg 2$．结论②成立，因为 $\lg (x_1{x}_2)=\lg x_1+\lg x_2$． 函数 $f(x)=\lg x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，所以当 $x_1\ne x_2$ 时，$\frac{\lg x_1-\lg x_2}{x_1-x_2}>0$，结论③成立．又因为 $\lg x$ 在 $(0,+\infty )$ 上的图象向上凸，所以 $\lg \frac{x_1+x_2}{2}>\frac{\lg x_1+\lg x_2}{2}$，结论④的不等号方向相反． 因此正确结论的序号是②③．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数性质判定

核心方法：对数运算律逐条验证，单调性与图象凹凸收尾

避坑指南：$\lg (x_1{x}_2)=\lg x_1+\lg x_2$ 成立（②），单调增保证差商为正（③）；①对任意 $x_1,x_2$ 不成立，④不等号反向；逐条验证别凭图象直觉

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数性质（人教 A 版必修一）

结论推广：$\lg$ 满足乘变加、单调增保证差商为正；上凸函数中点函数值大于两端点平均值

方法推广：性质判定题逐条用运算律与单调性验证，特值反例是快速排除手段

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I文-13 填-对数函数
• 2008-北京文-02 单-对数比较大小