2002-大纲文-11 单-双曲线离心率范围

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 设 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$，则二次曲线 $x^2\cot \theta -y^2\tan \theta =1$ 的离心率的取值范围为()

A. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$　　　　B. $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$　　　　C. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$　　　　D. $(\sqrt{2},+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化为 $\frac{x^2}{\tan \theta }-\frac{y^2}{\cot \theta }=1$，$a^2=\tan \theta$、$b^2=\cot \theta$。
2. $e=\sqrt{1+{\cot }^2\theta }=\csc \theta$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方程化为 $\frac{x^2}{\tan \theta }-\frac{y^2}{\cot \theta }=1$，故 $a^2=\tan \theta$、$b^2=\cot \theta$，$c^2=a^2+b^2$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{\tan \theta +\cot \theta }{\tan \theta }}=\sqrt{1+{\cot }^2\theta }=\csc \theta$．由 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$ 得 $\csc \theta >\sqrt{2}$，故 $e\in (\sqrt{2},+\infty )$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率范围

核心方法：$x^2\cot \theta -y^2\tan \theta =1$ 化 $\frac{x^2}{\tan \theta }-\frac{y^2}{\cot \theta }=1$，$e=\sqrt{1+{\cot }^2\theta }=\csc \theta >\sqrt{2}$

避坑指南：双曲线离心率 $e=\frac{c}{a}$，注意 $\theta \in (0,\frac{\pi }{4})$ 时 $\csc \theta >\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线的离心率

结论推广：一般地，双曲线离心率 $e=\frac{c}{a}$，$\theta \to 0^{+}$ 时 $e\to +\infty$

方法推广：化标准式求 $a^2,b^2$ 再求 $e$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-05 单-双曲线离心率
• 2003-天津文-06 单-双曲线离心率
• 2004-全国卷IV文-22 解-双曲线离心率范围