2001-大纲文-14 填-双曲线焦点与垂直

本题导读

本题考查双曲线的焦点，以及垂直关系下点到坐标轴的距离。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的两个焦点为 $F_1$，$F_2$，点 $P$ 在双曲线上，若 $P{F}_1\perp P{F}_2$，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 焦半距 $c=5$，焦点 $(\pm 5,0)$。
2. 由 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 得 $x^2+y^2=25$，联立双曲线方程求 $|y|$。

✅【答案】

Success

$\frac{16}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

焦半距 $c=\sqrt{9+16}=5$，焦点为 $(-5,0)$、$(5,0)$．设 $P(x,y)$，由 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 得 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-5-x,-y)\cdot (5-x,-y)=x^2-25+y^2=0$，即 $x^2+y^2=25$．又 $P$ 在双曲线上，$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$．将 $y^2=25-x^2$ 代入得 $16x^2-9(25-x^2)=144$，解得 $x^2=\frac{369}{25}$，从而 $y^2=25-\frac{369}{25}=\frac{256}{25}$，故点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $|y|=\frac{16}{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点与垂直

核心方法：$c=5$，设 $P(x,y)$，$P{F}_1\perp P{F}_2$ 得 $x^2+y^2=25$，联立 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 得 $y^2=\frac{256}{25}$，距离 $|y|=\frac{16}{5}$

避坑指南：垂直得内积零，联立求 $y$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线的几何性质

结论推广：一般地，垂直关系可化为向量内积为零

方法推广：内积零联立求距离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-安徽文-18 解-抛物线焦点弦垂直面积
• 2007-重庆文-21 解-抛物线焦点弦垂直平分线定值
• 2002-大纲文-11 单-双曲线离心率范围