2002-大纲文-02 单-复数三角形式求值

本题导读

本题考查复数的三角形式，以及棣莫弗定理的运用。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 复数 ${\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^3$ 的值是()

A. $-i$　　　　　　　B. $i$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$。
2. 三次方由棣莫弗定理得 $\cos \pi +i\sin \pi$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$，由棣莫弗定理 ${\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}^3=\cos \pi +i\sin \pi =-1$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数三角形式求值

核心方法：$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$，三次方为 $\cos \pi +i\sin \pi =-1$

避坑指南：化三角形式用棣莫弗定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的三角形式

结论推广：一般地，单位根 $\omega =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ 满足 ${\omega }^3=-1$

方法推广：化三角形式用棣莫弗定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-03 单-复数除法运算
• 2003-北京文-06 单-复数模最值
• 2004-全国卷III文-07 单-复数辐角与平方